已知橢圓的焦點為F1(0，-2
2
)，F2(0，2
2
)，離心率為e，已知
2
3
，e，
4
3
成等比數(shù)列；
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）已知P為橢圓上一點，求
PF1
•
PF2
最大值．
分析：（1）由
2
3
，e，
4
3
成等比數(shù)列可求得e，而c=2
2
，從而可求得a，繼而可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)點P的坐標(biāo)為（x，y），可求得
PF1
•
PF2
=x2+y2-8，結(jié)合（1）中橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可求得，
PF1
•
PF2
的最大值．
解答：解：（1）∵
2
3
，e，
4
3
成等比數(shù)列，
∴e2=
2
3
×
4
3
=
8
9
，
∴e=
2
2
3
；…（2分）
∵一個焦點F1（0，-2
2
），
∴c=2
2
，則a=3，
∴b2=9-8=1，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：x2+
y2
9
=1；                       …（6分）
（2）設(shè)點P的坐標(biāo)為（x，y），則
PF1
=（-x，-2
2
-y），
PF2
=（-x，2
2
-y），
∴
PF1
•
PF2
=（-x，-2
2
-y）•（-x，2
2
-y）
=x2+y2-8…（8分）
∵P為橢圓上一點，由（Ⅰ）知x2+
y2
9
=1；
∴x2=1-
y2
9
，
∴
PF1
•
PF2
=x2+y2-8=
8y2
9
-7…（10分）
∴當(dāng)y=3時，
PF1
•
PF2
取得最大值1．…（12分）
點評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即其性質(zhì)，考查向量的數(shù)量積與坐標(biāo)運算，考查等比數(shù)列的性質(zhì)，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓的焦點為F1（-1，0），F(xiàn)2（1，0），直線l：x-y+5=0，則
（1）經(jīng)過直線l上一點P且長軸長最短的橢圓方程為
 
，（2）點P的坐標(biāo)是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1）已知橢圓的焦點為F1（0，-5），F(xiàn)2（0，5），點P（3，4）在橢圓上，求它的方程
（2）已知雙曲線頂點間的距離為6，漸近線方程為y=±
32
x，求它的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓的焦點為F1（-1，0）、F2（1，0），直線x=4是它的一條準(zhǔn)線．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)A1、A2分別是橢圓的左頂點和右頂點，P是橢圓上滿足|PA1|-|PA2|=2的一點，求tan∠A1PA2的值；
（3）若過點（1，0）的直線與以原點為頂點、A2為焦點的拋物線相交于點M、N，求MN中點Q的軌跡方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓的焦點為F1（-6，0），F(xiàn)2（6，0），且該橢圓過點P（5，2）．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
（2）若橢圓上的點M（x0，y0）滿足MF1⊥MF2，求y0的值．

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同步練習(xí)冊答案