Question

（本小題滿分16分）

已知橢圓的離心率為，一條準(zhǔn)線．

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，是上的點(diǎn)，為橢圓的右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F作OM的垂線與以OM為直徑的圓交于兩點(diǎn)．

①若，求圓的方程；

②若是l上的動(dòng)點(diǎn)，求證：點(diǎn)在定圓上，并求該定圓的方程．

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）①或 ；②設(shè)，

由①知：，消去得：=2，點(diǎn)在定圓=2上．

【解析】

試題分析：（1）由題設(shè)：，，，

橢圓的方程為：               ………………………… 4分

（2）①由（1）知：，設(shè)，

則圓的方程：，     ………………………… 6分

直線的方程：，             ………………………… 8分

，，  ………………………… 10分

，

圓的方程：或  …………… 12分

②解法（一）：設(shè)，

由①知：，

即：，     ………………………… 14分

消去得：=2，點(diǎn)在定圓=2上．……………… 16分

解法（二）：設(shè)，則直線FP的斜率為，

∵FP⊥OM，∴直線OM的斜率為，

∴直線OM的方程為：，點(diǎn)M的坐標(biāo)為．……………14 分

∵MP⊥OP，∴,∴ 

∴=2,點(diǎn)在定圓=2上．     …………………………16 分

考點(diǎn)：本題考查了直線與橢圓的位置關(guān)系

點(diǎn)評(píng)：求解圓錐曲線的方程關(guān)鍵是求解a和b，可應(yīng)用已知條件得到關(guān)于兩個(gè)參量的方程或由性質(zhì)直接求得.