Question

已知數(shù)列{a_n}，a₁=a，且an+1+2an=2n+1(n∈N*)．
（1）若a₁，a₂，a₃成等差數(shù)列，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）數(shù)列{a_n}能為等比數(shù)列嗎？若能，試寫出它的充要條件并加以證明；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）由a₁=a，a₂=-2a+4，a₃=4a等差數(shù)列，知2（-2a+4）=a+4a，由此能求出實(shí)數(shù)a的值．
（2）因?yàn)?span id="9rdp9zt" class="MathJye">an+1+2an=2n+1(n∈N*)，所以

an+1

2n+1

+

an

2n

=1，故{

an

2n

-

1

2

}是以

a1

2

-

1

2

=

a

2

-

1

2

為首項(xiàng)，-1為公比的等比數(shù)列，由此能求出數(shù)列{a_n}能為等比數(shù)列的充要條件．

解答：解：（1）a₁=a，a₂=-2a+4，a₃=4a，
∵2a₂=a₁+a₃，
∴2（-2a+4）=a+4a，
得a=

8

9

，
故實(shí)數(shù)a的值為

8

9

．
（2）∵an+1+2an=2n+1(n∈N*)，
∴

an+1

2n+1

+

an

2n

=1，
∴

an+1

2n+1

-

1

2

=-(

an

2n

-

1

2

)，
故{

an

2n

-

1

2

}是以

a1

2

-

1

2

=

a

2

-

1

2

為首項(xiàng)，-1為公比的等比數(shù)列，
∴

an

2n

-

1

2

=(

a

2

-

1

2

)•(-1)n-1，
∴an=2n[

1

2

+(

a

2

-

1

2

)•(-1)n-1]，
∴

an+1

an

=

2n+1[ 1 2 +( a 2 - 1 2 )•(-1)n]

2n[ 1 2 +( a 2 - 1 2 )•(-1)n-1]

=2•

1 2 +( a 2 - 1 2 )•(-1)n

1 2 +( a 2 - 1 2 )•(-1)n-1

，
∴{a_n}為等比數(shù)列?

an+1

an

為常數(shù)，
∴當(dāng)且僅當(dāng)a=1時(shí)，

an+1

an

=2為常數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用，具有一定的探索性，對(duì)數(shù)學(xué)思維的要求較高，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．