Question

已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)M（0，1），且與直線L：y=-1相切．
（1）求動(dòng)圓圓心C的軌跡的方程；
（2）設(shè)A、B是軌跡C上異于原點(diǎn)O的兩個(gè)不同點(diǎn)，直線OA和OB的傾斜角分別
為α和β，當(dāng)α，β變化且α+β=θ（0＜θ＜π且θ≠

π

2

）為定值時(shí)，證明：直線AB恒過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）依據(jù)拋物線的定義即可得C的軌跡的方程；
（2）欲求證直線AB恒過定點(diǎn)，可先根據(jù)條件求出帶參數(shù)θ的直線AB的方程，再結(jié)合θ為定值即可證得．

解答：解：（1）由拋物線定義知C的軌跡是拋物線，且p=2，
∴動(dòng)圓圓心C的軌跡方程：x²=4y（6分）
（2）設(shè)點(diǎn)A(x1，

x12

4

)，B(x2，

x 2 2

4

)
則直線AB的方程為：y-

x 2 1

4

=

x 2 2 4 - x 2 1 4

x2-x1

(x-x1)，
化簡(jiǎn)得：y=

x2+x1

4

x-

x1x2

4

（9分）
又因?yàn)?span id="ccsmzxv" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">tanα=

x 2 1 4

x1

=

x1

4

，tanβ=

x 2 2 4

x2

=

x2

4

由α+β=θ，得tanθ=tan(α+β)=

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

=

x1+x2 4

1- x1x2 16

則tanθ=

x1+x2 4

1- x1x2 16

，
所以

x1x2

4

=4-

x1+x2

tanθ

（12分）
所以直線AB方程為y=

x2+x1

4

x-4+

x1x2

tanθ

即y=

x2+x1

4

(x+

4

tanθ

)-4
所以直線AB過定點(diǎn)(-

4

tanθ

，-4)．（15分）

點(diǎn)評(píng)：定義法：運(yùn)用解析幾何中一些常用定義（例如圓錐曲線的定義），可從曲線定義出發(fā)直接寫出軌跡方程，或從曲線定義出發(fā)建立關(guān)系式，從而求出軌跡方程．