【題目】已知函數(shù).

1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

2)若關于的不等式上恒成立,且,求實數(shù)的取值范圍.

【答案】1)單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為. 2

【解析】

1)對函數(shù)進行求導,利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性即可;

2)令,由,可得,利用分析法和放縮法的思想,通過構造函數(shù),利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性求最值證得當時,對任意,都有即可.

1)依題意,,

,即,解得,

故當時,,

時,,

時,,

故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為,

單調(diào)遞減區(qū)間為,

2)令

由題意得,當時,,則有,

下面證當時,對任意,都有,

由于時,,

所以當時,,

故只需證明對任意,都有

,則

所以上恒成立,

所以函數(shù)上單調(diào)遞增,

所以當時,,即

所以,則,

,,則.

時,,,

所以,即函數(shù)上單調(diào)遞增,

所以當時,,

所以對任意,都有.

所以當時,對任意,都有

故實數(shù)的取值范圍為.

練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)

1)若,求的單調(diào)區(qū)間;

2)證明:(i

ii)對任意,恒成立.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】工廠質(zhì)檢員從生產(chǎn)線上每半個小時抽取一件產(chǎn)品并對其某個質(zhì)量指標進行檢測,一共抽取了件產(chǎn)品,并得到如下統(tǒng)計表.該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品在一年內(nèi)所需的維護次數(shù)與指標有關,具體見下表.

質(zhì)量指標

頻數(shù)

一年內(nèi)所需維護次數(shù)

(1)以每個區(qū)間的中點值作為每組指標的代表,用上述樣本數(shù)據(jù)估計該廠產(chǎn)品的質(zhì)量指標的平均值(保留兩位小數(shù));

(2)用分層抽樣的方法從上述樣本中先抽取件產(chǎn)品,再從件產(chǎn)品中隨機抽取件產(chǎn)品,求這件產(chǎn)品的指標都在內(nèi)的概率;

(3)已知該廠產(chǎn)品的維護費用為元/次,工廠現(xiàn)推出一項服務:若消費者在購買該廠產(chǎn)品時每件多加元,該產(chǎn)品即可一年內(nèi)免費維護一次.將每件產(chǎn)品的購買支出和一年的維護支出之和稱為消費費用.假設這件產(chǎn)品每件都購買該服務,或者每件都不購買該服務,就這兩種情況分別計算每件產(chǎn)品的平均消費費用,并以此為決策依據(jù),判斷消費者在購買每件產(chǎn)品時是否值得購買這項維護服務?

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】在傳染病學中,通常把從致病刺激物侵入機體或者對機體發(fā)生作用起,到機體出現(xiàn)反應或開始呈現(xiàn)該疾病對應的相關癥狀時止的這一階段稱為潛伏期. 一研究團隊統(tǒng)計了某地區(qū)1000名患者的相關信息,得到如下表格:

潛伏期(單位:天)

人數(shù)

1)求這1000名患者的潛伏期的樣本平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表);

2)該傳染病的潛伏期受諸多因素的影響,為研究潛伏期與患者年齡的關系,以潛伏期是否超過6天為標準進行分層抽樣,從上述1000名患者中抽取200人,得到如下列聯(lián)表. 請將列聯(lián)表補充完整,并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有的把握認為潛伏期與患者年齡有關;

潛伏期

潛伏期

總計

50歲以上(含50歲)

50歲以下

55

總計

200

3)以這1000名患者的潛伏期超過6天的頻率,代替該地區(qū)1名患者潛伏期超過6天發(fā)生的概率,每名患者的潛伏期是否超過6天相互獨立. 為了深入研究,該研究團隊隨機調(diào)查了名患者,其中潛伏期超過6天的人數(shù)最有可能即概率最大)是多少?

附:

,其中.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】過雙曲線的右焦點作直線,且直線與雙曲線的一條漸近線垂直,垂足為,直線與另一條漸近線交于點,已知為坐標原點,若的內(nèi)切圓的半徑為,則雙曲線的離心率為(

A.B.C.D.2

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知橢圓的焦距為,且過點.

1)求橢圓的方程;

2)已知,是否存在k使得點A關于l的對稱點B(不同于點A)在橢圓C上?若存在求出此時直線l的方程,若不存在說明理由.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】我國古代數(shù)學名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題:“遠望巍巍塔七層,紅光點點倍加增,共燈三百八十一,請問尖頭幾盞燈?”意思是:一座7層塔共掛了381盞燈,且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍,則塔的頂層共有燈( )

A. 1盞 B. 3盞 C. 5盞 D. 9盞

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】中,,.已知分別是的中點.沿折起,使的位置且二面角的大小是60°,連接,如圖:

1)證明:平面平面

2)求平面與平面所成二面角的大小.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】中,,,沿中位線DE折起后,點A對應的位置為點P.

1)求證:平面平面DBCE;

2)求證:平面平面PCE

3)求直線BP與平面PCE所成角的正弦值.

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