Question

一個(gè)空間幾何體G-ABCD的三視圖如圖所示，其中A_i，B_i，C_i，D_i，G_i（i=1，2，3）分別是A，B，C，D，G在直立、側(cè)立、水平三個(gè)投影面內(nèi)的投影．在視圖中，四邊形A₁B₂C₃D₄為正方形，且A₁B₂=2a；在側(cè)視圖中，A₂D₂⊥A₂G₂；在俯視圖中，G₃D₃=G₃C₃=2

2a

.
（Ⅰ）根據(jù)三視圖畫出幾何體的直觀圖，并標(biāo)明A，B，C，D，G五點(diǎn)的位置；
（Ⅱ）證明：平面AGD⊥平面BGC；
（Ⅲ）求三棱錐D-ACG的體積．

Answer 1

分析：（1）由三視圖我們可以判斷這個(gè)幾何體是四棱錐，又由四邊形A₁B₂C₃D₄為正方形，且A₁B₂=2a；在側(cè)視圖中，A₂D₂⊥A₂G₂；在俯視圖中，G₃D₃=G₃C₃=．我們易畫出幾何體的直觀圖．
（2）由（1）的直觀圖我們易判斷AG⊥平面BCG，根據(jù)面面垂直的判斷定理，我們易得到平面AGD⊥平面BGC；
（3）利用轉(zhuǎn)化思想，三棱錐D-ACG的體積可轉(zhuǎn)化為三棱錐G-ACD的體積，根據(jù)（1）中分析出的棱長(zhǎng)關(guān)系，我們易代入求出三棱錐D-ACG的體積．

解答：解：（Ⅰ）空間幾何體的直觀圖如圖所示，
且可得到平面ABCD⊥平面ABG，四邊形
ABCD為正方形，AG=BG=

2

a，AB=2a，
故AG⊥BG（4分）
（Ⅱ）∵平面ABCD⊥平面ABG，
面ABCD∩平面ABG=AB，CB⊥AB，
∴CB⊥平面ABG，故CB⊥AG（6分）
又AG⊥BG，∴AG⊥平面BGC．
∴平面AGD⊥平面BGC（8分）
（Ⅲ）過(guò)G作GE⊥AB，垂足為E，
則GE⊥平面ABCDVD-AGC=VG-ADC=

1

3

×

1

2

AD×DC×GE=

1

6

•(2a)2•a=

2

3

a3．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是由三視圖求體積，根據(jù)三視圖分析出幾何體的形狀及相關(guān)棱的長(zhǎng)度和棱的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．