Question

某港口的水深y（米）是時間t(0≤t≤24,單位：小時）的函數，下面是水深數據：

t(時)	0	3	6	9	12	15	18	21	24
y(米)	10.0	13.0	9.9	7.0	10.0	13.0	10.1	7.0	10.0

根據上述數據描出的曲線如下圖所示，經擬合，該曲線可近似地看成正弦函數y=Asinωt+b的圖象.

(1)試根據以上數據，求出y=Asinωt+b的表達式；

（2）一般情況下，船舶航行時，船底離海底的距離不少于4.5米時是安全的，如果某船的吃水深度（船底與水面的距離）為7米，那么該船在什么時間段能夠安全進港？若該船欲當天安全離港，則在港內停留的時間最多不能超過多長時間（忽略進出港所用的時間）？

Answer 1

思路分析：（1）從擬合曲線可知，函數y=Asinωt+b中的b，由t=0時的函數值取的，t=3時取得最大值，進而可求得ω、A、b的值，即得函數的表達式.

(2)根據（1）中求得的函數表達式，求出數值不小于4.5+7=11.5（米）的時段，從而就可回答題中的兩問.

解:（1）從擬合曲線可知：函數y=Asinωt+b在一個周期內由最大變到最小需9-3=6小時，此為半個周期，所以函數的最小正周期為12小時，因此=12,ω=.

又∵當t=0時，y=10;當t=3時，y_max=13.

∴b=10,A=13-10=3.

于是所求的函數表達式為y=3sinx+10.

(2)由于船的吃水深度為7米，船底與海底的距離不少于4.5米，故在船舶航行時水深y應大于等于7+4.5=11.5（米）.

由擬合曲線可知，一天24小時，水深y變化兩個周期，故要使船舶在一天內停留港口的時間最長，則應從凌晨3點前進港，而從第二個周期中的下午15點后離港.

令y=3sinx+10≥11.5，可得sinx≥.

∴2kπ+≤x≤2kπ+ (k∈Z).

∴12k+1≤x≤12k+5(k∈Z).

取k=0，則1≤x≤5；取k=1，則13≤x≤17.

而取k=2時，則25≤x≤29（不合題意）.

從而可知船舶要在一天之內在港口停留時間最長，就應從凌晨1點（1點到5點都可以）進港，而下午的17點（即13點到17點之間）前離港，在港內停留的時間最長為16小時.