Question

長(zhǎng)方體共頂點(diǎn)的三個(gè)側(cè)面積分別為

3

、

5

、

15

，則它的外接球表面積為

9π

．

Answer 1

分析：由題意長(zhǎng)方體的外接球的直徑就是長(zhǎng)方體的對(duì)角線，求出長(zhǎng)方體的對(duì)角線，就是求出球的直徑，然后求出球的表面積．

解答：解：因?yàn)橐粋�(gè)長(zhǎng)方體相鄰的三個(gè)面的面積分別是

3

、

5

、

15

，
設(shè)長(zhǎng)方體的一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱長(zhǎng)分別是a，b，c
則

ab= 3 ac= 5 bc= 15

①÷②×③得：b=

3

，則a=1，c=

5

∴長(zhǎng)方體的一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱長(zhǎng)分別是1、

3

、

5

，且它的8個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，
所以長(zhǎng)方體的對(duì)角線就是確定直徑，
長(zhǎng)方體的體對(duì)角線的長(zhǎng)是：

1+3+5

=3
球的半徑是：R=

3

2

這個(gè)球的表面積：S=4 π（

3

2

）²=9π
故答案為：9π

點(diǎn)評(píng)：本題是基礎(chǔ)題，考查球的內(nèi)接多面體的有關(guān)知識(shí)，球的表面積的求法，注意球的直徑與長(zhǎng)方體的對(duì)角線的轉(zhuǎn)化是本題的解答的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力，空間想象能力．