(
x
+
2
x2
)n
的展開式中,第3項(xiàng)的系數(shù)與倒數(shù)第3項(xiàng)的系數(shù)之比為
1
16

(Ⅰ)求n的值;
(Ⅱ)展開式的哪幾項(xiàng)是有理項(xiàng)(回答項(xiàng)數(shù)即可);
(Ⅲ)求出展開式中系數(shù)最大的項(xiàng).
分析:(I)利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求出展開式的通項(xiàng),令r 分別為2,n-2得到第3項(xiàng)的系數(shù)與倒數(shù)第3項(xiàng)的系數(shù),根據(jù)已知條件列出方程,求出n的值.
(II)利用(I)的結(jié)果代入展開式的通項(xiàng),令x的指數(shù)為整數(shù),求出r的值得到展開式的有理項(xiàng).
(III)設(shè)出展開式的系數(shù)最大的項(xiàng),令其系數(shù)大于等于它前一項(xiàng)的系數(shù)同時(shí)大于等于它后一項(xiàng)的系數(shù),列出不等式組,求出展開式中系數(shù)最大的項(xiàng).
解答:解:(Ⅰ)(
x
+
2
x2
)
n
展開式的通項(xiàng)為Tr+1=2r
C
r
n
x
n-5r
2

令r=2得展開式第3項(xiàng)的系數(shù)為22Cn2=4Cn2,
令r=n-2得倒數(shù)第3項(xiàng)的系數(shù)是 2n-2Cnn-2=2n-2Cn2
所以有16×4Cn2=2n-2Cn2:,
解得n=8;
(Ⅱ)當(dāng) n=8時(shí),展開式的通項(xiàng)為Tr+1=2r
C
r
8
x
8-5r
2

要為有理項(xiàng)則
8-5r
2
 為整數(shù),此時(shí) r可以取到0,2,4,6,8,
所以有理項(xiàng)分別是第1項(xiàng),第3項(xiàng),第5項(xiàng),第7項(xiàng),第9項(xiàng);
(Ⅲ)設(shè)第 k項(xiàng)系數(shù)的最大,
2k
C
k
8
2k+1
C
k+1
8
2k
C
k
8
2k-1
C
k-1
8

解得k=6或7,
故系數(shù)的最大的項(xiàng)是第6項(xiàng)和第7項(xiàng),
∴分別展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為T6=25
C
5
8
x-
17
2
=1792x-
17
2
,T7=1792x-11
點(diǎn)評(píng):解決二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)問題,一般利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式作為工具;解決二項(xiàng)展開式的項(xiàng)的系數(shù)和問題,常設(shè)出最大的系數(shù)的項(xiàng),然后令其系數(shù)大于等于它前一項(xiàng)的系數(shù)同時(shí)大于等于它后一項(xiàng)的系數(shù).
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•石景山區(qū)一模)定義:若數(shù)列{An}滿足An+1=An2,則稱數(shù)列{An}為“平方遞推數(shù)列”.已知數(shù)列{an}中,a1=2,點(diǎn)(an,an+1)在函數(shù)f(x)=2x2+2x的圖象上,其中n為正整數(shù).
(1)證明:數(shù)列{2an+1}是“平方遞推數(shù)列”,且數(shù)列{lg(2an+1)}為等比數(shù)列.
(2)設(shè)(1)中“平方遞推數(shù)列”的前n項(xiàng)之積為Tn,即Tn=(2a1+1)(2a2+1)…(2an+1),求數(shù)列{an}的通項(xiàng)及Tn關(guān)于n的表達(dá)式.
(3)記bn=log2an+1Tn,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)之和Sn,并求使Sn>2011的n的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•石景山區(qū)一模)若數(shù)列{An}滿足An+1=An2,則稱數(shù)列{An}為“平方遞推數(shù)列”.已知數(shù)列{an}中,a1=2,點(diǎn)(an,an+1)在函數(shù)f(x)=2x2+2x的圖象上,其中n為正整數(shù).
(Ⅰ)證明數(shù)列{2an+1}是“平方遞推數(shù)列”,且數(shù)列{lg(2an+1)}為等比數(shù)列;
(Ⅱ)設(shè)(1)中“平方遞推數(shù)列”的前n項(xiàng)之積為Tn,即Tn=(2a1+1)(2a2+1)…(2an+1),求數(shù)列{an}的通項(xiàng)及Tn關(guān)于n的表達(dá)式;
(Ⅲ)記bn=log2an+1Tn,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=-2n2+13n(n∈N*),畫出它在x軸上方的圖象,請(qǐng)根據(jù)圖象求出an的最大值,并在同一坐標(biāo)系中畫出函數(shù)f(x)=-2x2+13x的圖象,根據(jù)圖象求出f(x)的最大值,并與an的最大值進(jìn)行比較.若用函數(shù)來求an=-2n2+13n的最大值,應(yīng)如何處理?

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:同步題 題型:證明題

定義:若數(shù)列{An}滿足An+1=An2,則稱數(shù)列{An}為“平方遞推數(shù)列”。已知數(shù)列{an}中,點(diǎn)(an,an+1)在函數(shù)f(x)=2x2+2x的圖象上,其中,n為正整數(shù),證明:數(shù)列{2an+1}是“平方遞推數(shù)列”。

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