Question

在(

x

+

2

x2

)n的展開式中，第3項(xiàng)的系數(shù)與倒數(shù)第3項(xiàng)的系數(shù)之比為

1

16

．
（Ⅰ）求n的值；
（Ⅱ）展開式的哪幾項(xiàng)是有理項(xiàng)（回答項(xiàng)數(shù)即可）；
（Ⅲ）求出展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)．

Answer 1

分析：（I）利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求出展開式的通項(xiàng)，令r 分別為2，n-2得到第3項(xiàng)的系數(shù)與倒數(shù)第3項(xiàng)的系數(shù)，根據(jù)已知條件列出方程，求出n的值．
（II）利用（I）的結(jié)果代入展開式的通項(xiàng)，令x的指數(shù)為整數(shù)，求出r的值得到展開式的有理項(xiàng)．
（III）設(shè)出展開式的系數(shù)最大的項(xiàng)，令其系數(shù)大于等于它前一項(xiàng)的系數(shù)同時(shí)大于等于它后一項(xiàng)的系數(shù)，列出不等式組，求出展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)．

解答：解：（Ⅰ）(

x

+

2

x2

)n展開式的通項(xiàng)為Tr+1=2r

C

r n

x

n-5r

2

令r=2得展開式第3項(xiàng)的系數(shù)為2²C_n²=4C_n²，
令r=n-2得倒數(shù)第3項(xiàng)的系數(shù)是 2^n-2C_n^n-2=2^n-2C_n²
所以有16×4C_n²=2^n-2C_n²：，
解得n=8；
（Ⅱ）當(dāng) n=8時(shí)，展開式的通項(xiàng)為Tr+1=2r

C

r 8

x

8-5r

2

要為有理項(xiàng)則

8-5r

2

 為整數(shù)，此時(shí) r可以取到0，2，4，6，8，
所以有理項(xiàng)分別是第1項(xiàng)，第3項(xiàng)，第5項(xiàng)，第7項(xiàng)，第9項(xiàng)；
（Ⅲ）設(shè)第 k項(xiàng)系數(shù)的最大，
∴

2k C k 8 ≥2k+1 C k+1 8 2k C k 8 ≥2k-1 C k-1 8

，
解得k=6或7，
故系數(shù)的最大的項(xiàng)是第6項(xiàng)和第7項(xiàng)，
∴分別展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為T₆=25

C

5 8

x-

17

2

=1792x-

17

2

，T₇=1792x^-11

點(diǎn)評：解決二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)問題，一般利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式作為工具；解決二項(xiàng)展開式的項(xiàng)的系數(shù)和問題，常設(shè)出最大的系數(shù)的項(xiàng)，然后令其系數(shù)大于等于它前一項(xiàng)的系數(shù)同時(shí)大于等于它后一項(xiàng)的系數(shù)．