1.某公司對新招聘的員工張某進(jìn)行綜合能力測試,共設(shè)置了A、B、C三個測試項目.假定張某通過項目A的概率為$\frac{1}{2}$,通過項目B、C概率均為a(0<a<1),且這三個測試項目能否通過相互獨立.
(Ⅰ)用隨機(jī)變量X表示張某在測試中通過的項目個數(shù),當(dāng)$a=\frac{1}{3}$時,求X的概率分布和數(shù)學(xué)期望;
(Ⅱ)若張某通過一個項目的概率最大,求實數(shù)a的取值范圍.

分析 (I)利用相互獨立事件的概率公式計算X的分布列,
(II)用a表示出各種情況的概率,列不等式組求出a的范圍.

解答 解:(Ⅰ)隨機(jī)變量X的可能取值為0、1、2、3.
當(dāng)$a=\frac{1}{3}$時,P(X=0)=$\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{2}{3}$=$\frac{2}{9}$;
P(X=1)=$\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{2}{3}$+$\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\frac{2}{3}×{C}_{2}^{1}$=$\frac{4}{9}$;
P(X=2)$\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\frac{2}{3}{×C}_{2}^{1}$+$\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\frac{1}{3}$=$\frac{5}{18}$;
P(X=3)=$\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\frac{1}{3}$=$\frac{1}{18}$.
∴X的分布列為:

X0123
P$\frac{2}{9}$$\frac{4}{9}$$\frac{5}{18}$$\frac{1}{18}$
X的數(shù)學(xué)期望為$E(X)=0×\frac{2}{9}+1×\frac{4}{9}+2×\frac{5}{18}+3×\frac{1}{18}=\frac{7}{6}$.
(Ⅱ)$P(X=0)=(1-\frac{1}{2})C_2^0•{(1-a)^2}=\frac{1}{2}{(1-a)^2}$,
$P(X=1)=\frac{1}{2}C_2^0•{(1-a)^2}+$$(1-\frac{1}{2})C_2^1•a•(1-a)=\frac{1}{2}(1-{a^2})$,
$P(X=2)=\frac{1}{2}C_2^1•a•(1-a)+(1-\frac{1}{2})C_2^2•{a^2}=\frac{1}{2}(2a-{a^2})$,
$P(X=3)=\frac{1}{2}C_2^2•{a^2}=\frac{1}{2}{a^2}$,
∴P(X=1)-P(X=0)=a(1-a),
$P(X=1)-P(X=2)=\frac{1-2a}{2}$,
$P(X=1)-P(X=3)=\frac{{1-2{a^2}}}{2}$,由題意得$\left\{{\begin{array}{l}{a(1-a)≥0}\\ \begin{array}{l}\frac{1-2a}{2}≥0\\ \frac{{1-2{a^2}}}{2}≥0\end{array}\end{array}}\right.$,
又0<a<1,∴$0<a≤\frac{1}{2}$,
即a的取值范圍是$(0,\frac{1}{2}]$.

點評 本題考查了離散型隨機(jī)變量的分布列,屬于中檔題.

練習(xí)冊系列答案
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