Question

已知向量

a

=（cosα，sinα），

b

=（cosβ，sinβ），|

a

-

b

|=

2 5

5

．
（1）求cos（α-β）的值；
（2）若0＜α＜

π

2

，-

π

2

＜β＜0，且sinβ=-

5

13

，求sinα的值．

Answer 1

分析：（1）通過|

a

-

b

|=

2 5

5

．求出向量的模，化簡即可求出cos（α-β）的值；
（2）通過0＜α＜

π

2

，-

π

2

＜β＜0，且sinβ=-

5

13

，求出cosβ的值，sin（α-β）的值，利用sinα=sin（α-β+β），然后求sinα的值．

解答：解：（1）因?yàn)橄蛄?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

a

=（cosα，sinα），

b

=（cosβ，sinβ），|

a

-

b

|=

2 5

5

=

(cosα-cosβ)2+(sinα-sinβ)2

=

2-2cos(α-β)

，所以2-2cos（α-β）=

4

5

，
所以cos（α-β）=

3

5

；
（2）若0＜α＜

π

2

，-

π

2

＜β＜0，所以0＜α-β＜π，因?yàn)閏os（α-β）=

3

5

，所以sin（α-β）=

4

5

且sinβ=-

5

13

，cosβ=

12

13

，
所以，sinα=sin（α-β+β）=sin（α-β）cosβ+cos（α-β）sinβ=

4

5

×

12

13

+

3

5

×(-

5

13

)=

33

65

點(diǎn)評：本題是中檔題，考查三角函數(shù)的恒等變換以及化簡求值，平面向量的數(shù)量積的應(yīng)用，注意角的變換的技巧α=α-β+β，是簡化解題過程的依據(jù)，注意角的范圍的確定，是解題的關(guān)鍵，同時注意：3，4，5；5，12，13．這些特殊數(shù)字組成的直角三角形的三角函數(shù)值的應(yīng)用．