Question

【題目】已知圓：，點(diǎn)是直線：上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓M的切線、，切點(diǎn)為、．

（Ⅰ）當(dāng)切線PA的長(zhǎng)度為時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（Ⅱ）若的外接圓為圓，試問：當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)，圓是否過(guò)定點(diǎn)？若存在，求出所有的定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由；

（Ⅲ）求線段長(zhǎng)度的最小值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）AB有最小值

【解析】

試題（Ⅰ）求點(diǎn)的坐標(biāo)，需列出兩個(gè)獨(dú)立條件,根據(jù)解方程組解：由點(diǎn)是直線：上的一動(dòng)點(diǎn)，得，由切線PA的長(zhǎng)度為得，解得（Ⅱ）設(shè)P（2b,b），先確定圓的方程：因?yàn)?/span>∠MAP＝90°，所以經(jīng)過(guò)A、P、M三點(diǎn)的圓以MP為直徑，其方程為：，再按b整理：由解得或，所以圓過(guò)定點(diǎn)（Ⅲ）先確定直線方程，這可利用兩圓公共弦性質(zhì)解得：由圓方程為及 圓：，相減消去x,y平方項(xiàng)得圓方程與圓相交弦AB所在直線方程為：，相交弦長(zhǎng)即：

，當(dāng)時(shí)，AB有最小值

試題解析：（Ⅰ）由題可知，圓M的半徑r＝2，設(shè)P（2b,b），

因?yàn)?/span>PA是圓M的一條切線，所以∠MAP＝90°,

所以MP＝，解得

所以4分

（Ⅱ）設(shè)P（2b，b），因?yàn)?/span>∠MAP＝90°，所以經(jīng)過(guò)A、P、M三點(diǎn)的圓以MP為直徑，

其方程為：

即

由， 7分

解得或，所以圓過(guò)定點(diǎn)9分

（Ⅲ）因?yàn)閳A方程為

即①

圓：，即②

②－①得圓方程與圓相交弦AB所在直線方程為：

11分

點(diǎn)M到直線AB的距離13分

相交弦長(zhǎng)即：

當(dāng)時(shí)，AB有最小值16分