Question

從{1，2，3，…，n}中隨機(jī)地抽出一個(gè)數(shù)x，按右邊程序框圖所給算法輸出y．
（1）設(shè)n=10，求y＜0的概率；
（2）若P（y＞0）=

1

6

，記輸出的y值為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（1）由程序框圖所給的算法可知y是關(guān)于變量x的分段函數(shù)，通過解不等式求出y＜0包含的基本事件的個(gè)數(shù)為5，利用古典概型的概率公式求出n=10時(shí)，y＜0的概率．
（2）求出y＞0時(shí)，x可取的值，通過對n的討論求出P（y＞0）的范圍，根據(jù)已知條件P（y＞0）=

1

6

，求出n的值，求出
ξ的所有取值，并求出取各值的概率值，列出分布列，求出期望．

解答：解：（1）由程序框圖所給的算法可知y是關(guān)于隨機(jī)變量x的函數(shù)．
當(dāng)x＜5時(shí)，由不等式2^x-8＜0可得x＜3，故x可取1，2；
當(dāng)5≤x≤10時(shí)，由不等式x²-14x+45＜0可得5＜x＜9，故x可取6，7，8；
，從{1，2，3，…，10}中隨機(jī)地抽出一個(gè)數(shù)x，基本事件的總數(shù)為10，
事件y＜0包含的基本事件的個(gè)數(shù)為5，
由古典概型的概率公式得n=10時(shí)，y＜0的概率為

5

10

=

1

2

；
（2）當(dāng)x＜5時(shí)，由不等式2^x-8＞0可得x＞3，故x可取4；
當(dāng)x≥5時(shí)，由不等式x²-14x+45＞0可得x＞9；
所以當(dāng)n＜4時(shí)，p（y＞0）=0；
當(dāng)4≤n＜10時(shí)，p（y＞0）=

1

n

，

1

9

≤p(y＞0)≤

1

4

；
當(dāng)n≥10時(shí)，p（y＞0）=

1+n-9

n

=1-

8

n

，

1

5

＜p(y＞0)＜1．
由P（y＞0）=

1

6

知4≤n＜10，由

1

n

=

1

6

得n=6．
當(dāng)x分別取1，2，3，4，5，6時(shí)，輸出的y值依次為-6，-4，0，8，0，-3，
故ξ的分布列為

Eξ=-6×

1

6

-4×

1

6

-3×

1

6

+0×

1

6

+8×

1

6

=-

5

6

點(diǎn)評：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，考查等可能事件的概率，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，是一個(gè)綜合題，是近幾年高考題目中經(jīng)常出現(xiàn)的一個(gè)問題．