Question

已知A={（x，y）|x=n，y=an+b，n∈Z}，B={（x，y）|x=m，y=3m²+15，m∈Z}，C={（x，y）|x²+y²≤144}，問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)a，b，使得①A∩B≠∅，②C（a，b）∈C同時(shí)成立？．

Answer 1

分析：存在，理由為：集合A為y=ax+b的點(diǎn)集，集合B為y=3x²+15的點(diǎn)集，集合C為圓心為原點(diǎn)，半徑為12的圓上及圓內(nèi)點(diǎn)集，根據(jù)題意得到直線y=ax+b與y=3x²+15有公共點(diǎn)，且a²+b²≤144，利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)確定出a與b的值即可．

解答：解：存在實(shí)數(shù)a=±6

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，b=6，使得①A∩B≠∅，②C（a，b）∈C同時(shí)成立，理由為：
集合A為y=ax+b的點(diǎn)集，集合B為y=3x²+15的點(diǎn)集，集合C為圓心為原點(diǎn)，半徑為12的圓上及圓內(nèi)點(diǎn)集，
∵①A∩B≠∅，②C（a，b）∈C同時(shí)成立，
∴

y=ax+b y=3x2+15

有解且a²+b²≤144，
即3x²-ax+15-b=0有解且a²+b²≤144，
∴a²-12（15-b）=a²+12b-180≥0，且a²+b²≤144，即180-12b≤a²≤144-b²，
∴180-12b≤144-b²，即b²-12b+36≤0，即（b-6）²≤0，
則b只能為6，此時(shí)a²=108，即a=±6

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．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了交集及其運(yùn)算，弄清題意是解本題的關(guān)鍵．