(08年康杰中學(xué))(12分)如圖所示,正三棱柱底面邊長是2,側(cè)棱長是
,D是AC的中點
(1)求證:平面
;
(2)求二面角的大小;
(3)求直線與平面
所成角的正弦值。
解析:解法一:(1)設(shè)與
相交于點P,連接PD,則P為
中點,
D為AC中點,
PD//
。
又PD
平面
D,
//平面
D
(2)正三棱柱
,
底面ABC。
又BD
AC,由三垂線定理得:
BD
就是二面角
的平面角。
=
,AD=
AC=1
tan
=
=
, 即二面角
的大小是
(3)BD
AC,平面
平面ABC,平面
平面ABC=AC
BD
平面
,
,
作.則AM
平面
,連接MP,
則就是直線
與平面
D所成的角。
=
,AD=1,
在Rt
D中,
=
,
,
。
直線
與平面
D所成的角的正弦值為
解法二:
(1)同解法一
(2)如圖建立空間直角坐標(biāo)系,
則D(0,0,0),A(1,0,0),(1,0,
),B(0,
,0),
(0,
,
)
=(-1,
,-
),
=(-1,0,-
)
設(shè)平面的法向量為
=(x,y,z)
則
則有,得
=(
,0,1)
由題意知=(0,0,
)是
平面ABD的一個法向量。
設(shè)與
所成角為
,
則,
二面角
的大小是
(3)由已知,得=(-1,
,
),
=(
,0,1)
則
直線
與平面
D所成的角的正弦值為
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