Question

已知定義域為R的函數f（x）滿足；f（x+y）=f（x）f（y），且f（3）＞1．
（1）求f（0）；
（2）求證：f（-4）＜1．

Answer 1

分析：（1）令已知等式f（x+y）=f（x）f（y）中的x=0，y=3，然后兩邊同除以f（3）求出f（0）的值．
（2）先將f（3）用f（1）表示，據f（3）的范圍求出f（1）的范圍，再利用已知等式將f（4）用f（1）表示求出f（4）的范圍，利用已知條件得到f（-4）與f（4）的關系，進一步求出f（-4）的范圍．

解答：解：（1）令x=0，y=3得
f（3）=f（0）f（3）
∵f（3）＞1
∴f（0）=1
（2）證明：∵f（x+y）=f（x）f（y），
∴f（3）=[f（1）]³＞1
∴f（1）＞1
∴f（4）=[f（1）]⁴＞1
∵f（4-4）=f（4）f（-4）
即f(-4)=

1

f(4)

＜1

點評：解決抽象函數的性質問題，一般利用所給的等式通過觀察，給等式中的未知數賦值，求出需要的函數值．