Question

已知二次函數(shù)f（x）滿足f（-2）=0，且2x≤f（x）≤

x2+4

2

對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立．
（1）求f（2）的值；
（2）求f（x）的解析式；
（3）設(shè)b_n=

1

f(n)

，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，求證：S_n＞

4n

3(n+3)

．

Answer 1

分析：（1）在2x≤f（x）≤

x2+4

2

中，取x=2可得答案；
（2）設(shè)f（x）=ax²+bx+c（a≠0），由f（-2）=0，f（2）=4，得

4a+2b+c=4 4a-2b+c=0

，可得

b=1 c=2-4a

，根據(jù)ax²+bx+c≥2x恒成立可得△≤0，可化為關(guān)于a的不等式，可得a值，進(jìn)而可得c值；
（3）由（2）可得b_n，進(jìn)行放縮后利用裂項(xiàng)相消法可得關(guān)于S_n的不等式，得到結(jié)論；

解答：（1）解：∵2x≤f（x）≤

x2+4

2

對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立，
∴4≤f（2）≤4，∴f（2）=4．
（2）解：設(shè)f（x）=ax²+bx+c（a≠0）．
∵f（-2）=0，f（2）=4，
∴

4a+2b+c=4 4a-2b+c=0

，可得

b=1 c=2-4a

，
∵ax²+bx+c≥2x，即ax²-x+2-4a≥0恒成立，
∴△=1-4a（2-4a）≤0⇒（4a-1）²≤0，
∴a=

1

4

，c=2-4a=1，
故f(x)=

x2

4

+x+1．…（7分）
（3）證明：∵b_n=

1

f(n)

=

4

(n+2)2

＞

4

(n+2)(n+3)

=4（

1

n+2

-

1

n+3

），
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n＞4[（

1

3

-

1

4

）+（

1

4

-

1

5

）+…+（

1

n+2

-

1

n+3

）]=4×（

1

3

-

1

n+3

）=

4n

3(n+3)

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二次函數(shù)解析式的求解、數(shù)列與不等式的綜合及恒成立問(wèn)題，考查學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析解決問(wèn)題的能力，（3）問(wèn)中對(duì)b_n進(jìn)行適當(dāng)放縮然后求和是解題的關(guān)鍵所在．