Question

已知二次函數f（x）滿足f（-2）=0，且2x≤f（x）≤

x2+4

2

對一切實數x都成立．
（1）求f（2）的值；
（2）求f（x）的解析式；
（3）設b_n=

1

f(n)

，數列{b_n}的前n項和為S_n，求證：S_n＞

4n

3(n+3)

．

Answer 1

分析：（1）在2x≤f（x）≤

x2+4

2

中，取x=2可得答案；
（2）設f（x）=ax²+bx+c（a≠0），由f（-2）=0，f（2）=4，得

4a+2b+c=4 4a-2b+c=0

，可得

b=1 c=2-4a

，根據ax²+bx+c≥2x恒成立可得△≤0，可化為關于a的不等式，可得a值，進而可得c值；
（3）由（2）可得b_n，進行放縮后利用裂項相消法可得關于S_n的不等式，得到結論；

解答：（1）解：∵2x≤f（x）≤

x2+4

2

對一切實數x都成立，
∴4≤f（2）≤4，∴f（2）=4．
（2）解：設f（x）=ax²+bx+c（a≠0）．
∵f（-2）=0，f（2）=4，
∴

4a+2b+c=4 4a-2b+c=0

，可得

b=1 c=2-4a

，
∵ax²+bx+c≥2x，即ax²-x+2-4a≥0恒成立，
∴△=1-4a（2-4a）≤0⇒（4a-1）²≤0，
∴a=

1

4

，c=2-4a=1，
故f(x)=

x2

4

+x+1．…（7分）
（3）證明：∵b_n=

1

f(n)

=

4

(n+2)2

＞

4

(n+2)(n+3)

=4（

1

n+2

-

1

n+3

），
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n＞4[（

1

3

-

1

4

）+（

1

4

-

1

5

）+…+（

1

n+2

-

1

n+3

）]=4×（

1

3

-

1

n+3

）=

4n

3(n+3)

．

點評：本題考查二次函數解析式的求解、數列與不等式的綜合及恒成立問題，考查學生綜合運用所學知識分析解決問題的能力，（3）問中對b_n進行適當放縮然后求和是解題的關鍵所在．