已知三次函數(shù)f（x）=ax3-5x2+cx+d（a≠0）圖象上點（1，8）處的切線經(jīng)過點（3，0），并且f（x）在x=3處有極值．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若當x∈（0，m）時，f（x）＞0恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

解：（1）∵f（x）圖象過點（1，8），
∴a-5+c+d=8，即a+c+d=13①
又f′（x）=3ax2-10x+c，且點（1，8）處的切線經(jīng)過（3，0），
∴f′（1）==-4，即3a-10+c=-4，∴3a+c=6②
又∵f（x）在x=3處有極值，∴f′（3）=0，即27a+c=30③
聯(lián)立①、②、③解得a=1，c=3，d=9，f（x）=x3-5x2+3x+9
（2）f′（x）=3x2-10x+3=（3x-1）（x-3）由f′（x）=0得x1=，x2=3
當x∈（0，）時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，∴f（x）＞f（0）=9
當x∈（，3）時，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，∴f（x）＞f（3）=0．
又∵f（3）=0，
∴當m＞3時，f（x）＞0在（0，m）內(nèi)不恒成立．
∴當且僅當m∈（0，3]時，f（x）＞0在（0，m）內(nèi)恒成立．
所以m取值范圍為（0，3]．
分析：（1）將（1，8）代入f（x）；求出導(dǎo)函數(shù)，據(jù)導(dǎo)數(shù)在切點（1，8）處的值為切線斜率列出方程；據(jù)極值點處的導(dǎo)數(shù)值為0，列出另一個等式，解方程組求出f（x）的解析式．
（2）求出導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)等于0，求出根，判斷出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出最小值，求出m的范圍．
點評：本題考查在解決函數(shù)的切線問題時，一定注意是切點處的導(dǎo)數(shù)值才等于切線的斜率．在解決不等式恒成立問題時，常采用的方法是分離常數(shù)求函數(shù)的最值．
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相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知三次函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx（a，b，c∈R）．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）過點（-1，2）且在點（1，f（1））處的切線方程為y+2=0，求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，若對于區(qū)間[-3，2]上任意兩個自變量的值x1，x2都有|f（x1）-f（x2）|≤t，求實數(shù)t的最小值；
（Ⅲ）當-1≤x≤1時，|f′（x）|≤1，試求a的最大值，并求a取得最大值時f（x）的表達式．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

19、已知三次函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+c在x=1和x=-1時取極值，且f（-2）=-4．
（I）求函數(shù)y=f（x）的表達式；
（II）求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（Ⅲ）若函數(shù)g（x）=f（x-m）+4m（m＞0）在區(qū)間[m-3，n]上的值域為[-4，16]，試求m、n應(yīng)滿足的條件．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知三次函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx+d，（a，b，c，d∈R），命題p：y=f（x）是R上的單調(diào)函數(shù)；命題q：y=f（x）的圖象與x軸恰有一個交點．則p是q的（　　）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知三次函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+c在x=1和x=-1時取極值，且f（-2）=-4．
（1）求函數(shù)f（x）的表達式； 
（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；
（3）求函數(shù)在區(qū)間[-2，5]的最值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知三次函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx+d的圖象如圖所示，則
f′(-3)f′(1)
=
 
．

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