Question

已知橢圓過和點．

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)過點的直線與橢圓交于兩點，且，求直線的方程．

 

Answer 1

（1）;（2）．

【解析】

試題分析：（1）由已知將已知兩點的坐標代入橢圓Ｇ的方程中，可得到關(guān)于的方程組，解此方程組就可求得的值，進而就可寫出橢圓Ｇ的方程．（２）首先注意到由題意可得到直線的斜率存在，且．從而可用斜截式設(shè)出直線的方程，代入橢圓Ｇ的方程消元得到一個一元二次方程，則此方程一定有兩個不同的解，所以，可得到的取值范圍；再由，得到，結(jié)合韋達定理可用的代數(shù)式表示出線段ＭＮ的中點的坐標，然后由就可求出的值，從而求得直線的方程．

試題解析：（1）因為橢圓過點和點．

所以，由，得．

所以橢圓的方程為 4分

（2）顯然直線的斜率存在，且．設(shè)直線的方程為．

由消去并整理得， 5分

由， 7分

設(shè)，，中點為，

得， 8分

由，知，

所以，即．

化簡得，滿足．所以 12分

因此直線的方程為 14分

考點：１．橢圓的的方程；２．直線與橢圓的位置關(guān)系．