Question

等差數(shù)列{a_n} 的各項(xiàng)均為整數(shù)，a₁=3，前n項(xiàng)和為S_n，其中S₅=35．又等比數(shù)列 {b_n}中，b₁=1，b₂S₂=64．
（1）求a_n與b_n
（2）證明：

1

S1

+

1

S2

+

1

S3

+…+

1

Sn

＜

3

4

．

Answer 1

分析：（1）設(shè)a_n的公差為d，b_n的公比為q，則d為正整數(shù)，a_n=3+（n-1）d，b_n=q^n-1，由S₅=35．b₂S₂=64建立方程求出d，q即可得到a_n與b_n．
（2）由（1）得S_n=n（n+2），由于其倒數(shù)為

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)，故

1

S1

+

1

S2

+

1

S3

+…+

1

Sn

的各易求，求出其和，利用放縮法進(jìn)行證明．

解答：解：（1）設(shè)a_n的公差為d，b_n的公比為q，則d為正整數(shù)，a_n=3+（n-1）d，b_n=q^n-1（2分）
依題意有

S5=5×3+ 5×4 2 ×d=35 S2b2=(6+d)q=64

，
解之得d=2，q=8（4分）
a_n=2n+1，b_n=8^n-1（6分）
（2）證明：S_n=n（n+2）（8分）

1

S1

+

1

S2

+

1

S3

++

1

Sn

=

1

1×3

+

1

2×4

+…+

1

n(n+2)

=

1

2

(1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+

1

3

+

1

5

+…+

1

n-1

-

1

n+1

+

1

n

-

1

n+2

)=

1

2

(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)=

3

4

-

1

(n+1)(n+2)

＜

3

4

∴

1

S1

+

1

S2

+

1

S3

+…+

1

Sn

＜

3

4

（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差與等比數(shù)列的綜合，考查利用兩個(gè)數(shù)列的性質(zhì)建立方程求其通項(xiàng)，以及利用裂項(xiàng)分求和，放縮法證明不等式，本題中裂項(xiàng)求和時(shí)要注意恒等變形，莫忘記分母上兩個(gè)數(shù)的差是2，故應(yīng)乘以

1

2

以保證兩邊相等．