Question

已知f（x）=x⁴﹣4x³+（3+m）x²﹣12x+12，m∈R．
（1）若f'（1）=0，求m的值，并求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，f（x）≥0恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵f（x）=x⁴﹣4x³+（3+m）x²﹣12x+12，m∈R，
∴f'（x）=4x³﹣12x²+2（3+m）x﹣12，
∴f'（1）=4﹣12+2（3+m）﹣12=0，
解得m=7．
∴f'（x）=4x³﹣12x²+20x﹣12=4（x﹣1）（x²﹣2x+3），
方程x²﹣2x+3=0的判別式△=2²﹣3×4=﹣8＜0，
∴x²﹣2x+3＞0，
所以f'（x）=0，解得x=1，
列表討論

由此可得f（x）的單調(diào)減區(qū)間是（﹣∞，1），f（x）單調(diào)增區(qū)間是（1，+∞）．
（2）f（x）=x⁴﹣4x³+（3+m）x²﹣12x+12=（x²+3）（x﹣2）²+（m﹣4）x²，
當(dāng)m＜4時(shí)，f（2）=4（m﹣4）＜0，不合題意，
當(dāng)m≥4時(shí)，f（x）=（x²+3）（x﹣2）²+（m﹣4）x²≥0，對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，
所以，m的取值范圍是[4，+∞）．