Question

已知：函數(shù)f（x）=[x[x]]（x∈R），其中[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)．
如[-2.1]=-3，[-3]=-3，[2.5]=2．
（1）判斷f（x）的奇偶性；
（2）若x∈[-2，3]，求f（x）的值域；
（3）若x∈[0，n]（n∈N*），f（x）的值域?yàn)锳_n，現(xiàn)將A_n，中的元素的個(gè)數(shù)記為a_n．試求a_n+1與a_n的關(guān)系，并進(jìn)一步求出a_n的表達(dá)式．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)函數(shù)f（x）=[x[x]]（x∈R）的定義可得：f（-

3

2

）≠f（

3

2

），f（-

3

2

）≠-f（

3

2

），故f（x）為非奇非偶函數(shù)；
（2）先對(duì)x的取值進(jìn)行分類討論：當(dāng)-2≤x＜-1時(shí)；當(dāng)-1≤x＜0時(shí)；當(dāng)0≤x＜1時(shí)；當(dāng)1≤x＜2時(shí)；當(dāng)2≤x＜3時(shí)；故所求f（x）的值域?yàn)閧0，1，2，3，4，5，9}；
（3）分類討論：當(dāng)n＜x＜n+1時(shí)；當(dāng)x=n+1時(shí)；因此，可得a_n+1=a_n+n，又由（2）知，a₁=2，利用a_n=（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）+a₁求出a_n的表達(dá)式即可．

解答：解：（1）∵f（

3

2

）=[

3

2

[

3

2

]]=[

3

2

•1]=[

3

2

]=1，
f（-

3

2

）=[-

3

2

[-

3

2

]]=[-

3

2

•（-2）]=[3]=3，
∴f（-

3

2

）≠f（

3

2

），f（-

3

2

）≠-f（

3

2

），故f（x）為非奇非偶函數(shù)．（4分）
（2）當(dāng)-2≤x＜-1時(shí)，[x]=-2，則2＜x[x]≤4，∴f（x）可取2，3，4；
當(dāng)-1≤x＜0時(shí)，[x]=-1，則0＜x[x]≤1，∴f（x）可取0，1；
當(dāng)0≤x＜1時(shí)，[x]=0，則x[x]=0，∴f（x）=0；
當(dāng)1≤x＜2時(shí)，[x]=1，則1≤x[x]＜2，∴f（x）=1；
當(dāng)2≤x＜3時(shí)，[x]=2，則4≤x[x]＜6，∴f（x）可取4，5；
又f（3）=[3[3]]=9，
故所求f（x）的值域?yàn)閧0，1，2，3，4，5，9}，（9分）
（3）當(dāng)n＜x＜n+1時(shí)，[x]=n，則 n²＜x[x]＜n（n+1），
故f（x）可取n²，n²+1，n²+2，…，n²+n-1，
當(dāng)x=n+1時(shí)，f（n+1）=（n+1）²，
又當(dāng)x∈[0，n]時(shí)，顯然有f（x）≤n²．
因此，可得a_n+1=a_n+n，又由（2）知，a₁=2，
∴a_n=（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）+a₁
=（2-1）+（3-1）+（4-1）+1…+（n-1）+2
=

(n-1)(1+n-1)

2

+2=

n2-n+4

2

（14分）

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、函數(shù)奇偶性的應(yīng)用、不等式的解法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．