Question

甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行球類(lèi)比賽，約定先勝3局獲勝，比賽結(jié)束．假設(shè)在每局比賽中，甲隊(duì)獲勝的概率為0.6，乙隊(duì)獲勝的概率為0.4，各局比賽相互獨(dú)立．已知第一局比賽已經(jīng)結(jié)束，且甲隊(duì)獲勝．
（1）求甲隊(duì)獲得這次比賽勝利的概率；
（2）設(shè)ξ表示從第二局開(kāi)始到比賽結(jié)束所進(jìn)行的局?jǐn)?shù)，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（1）甲隊(duì)獲勝有三種情形，①3：0，②3：1，③3：2，其每種情形的最后一局肯定是甲隊(duì)勝，分別求出相應(yīng)的概率，最后根據(jù)互斥事件的概率公式求出甲隊(duì)獲得這次比賽勝利的概率；
（2）ξ的取值可能為2，3，4，然后利用相互獨(dú)立事件的概率乘法公式求出相應(yīng)的概率，列出分布列，最后根據(jù)數(shù)學(xué)期望公式解之即可．

解答：解：（1）甲隊(duì)獲勝有三種情形，其每種情形的最后一局肯定是甲隊(duì)勝
①3：0，概率為P₁=0.6²=0.36
②3：1，概率為P₂=

C

1 2

0.6×0.4×0.6=0.288
③3：2，概率為P₃=

C

1 3

0.6×0.42×0.6=0.1728
∴甲隊(duì)獲得這次比賽勝利的概率為P=P₁+P₂+P₃=0.36+0.288+0.1728=0.8208；
（2）ξ的取值可能為2，3，4
P（ξ=2）=0.6²=0.36
P（ξ=3）=

C

1 2

0.6×0.4×0.6+0.4³=0.352
P（ξ=4）=

C

1 3

0.6×0.42×0.6+

C

2 3

0.42×0.6×0.4=0.288
則ξ的分布列為

ξ	2	3	4
P	0.36	0.352	0.288

∴E（ξ）=2×0.36+3×0.352+4×0.288=2.928

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了相互獨(dú)立事件的概率乘法公式，以及離散型隨機(jī)變量的期望與分布列，同時(shí)考查了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．