Question

【題目】為迎接夏季旅游旺季的到來，少林寺單獨設(shè)置了一個專門安排游客住宿的客棧，寺廟的工作人員發(fā)現(xiàn)為游客準備的一些食物有些月份剩余不少，浪費很嚴重，為了控制經(jīng)營成本，減少浪費，就想適時調(diào)整投入．為此他們統(tǒng)計每個月入住的游客人數(shù)，發(fā)現(xiàn)每年各個月份來客棧入住的游客人數(shù)會發(fā)生周期性的變化，并且有以下規(guī)律：

①每年相同的月份，入住客棧的游客人數(shù)基本相同；

②入住客棧的游客人數(shù)在2月份最少，在8月份最多，相差約400人；

③2月份入住客棧的游客約為100人，隨后逐月遞增直到8月份達到最多．

（1）試用一個正弦型三角函數(shù)描述一年中入住客棧的游客人數(shù)y與月x份之間的關(guān)系；

（2）請問哪幾個月份要準備400份以上的食物？

Answer 1

【答案】（1）f（x）=200sin（x）+300；（2）只有6，7，8，9，10五個月份要準備400份以上的食物．

【解析】

試題（1）根據(jù)①，可知函數(shù)的周期是12；根據(jù)②可知，f（2）最小，f（8）最大，且f（8）﹣f（2）=400；根據(jù)③可知，f（x）在[2，8]上單調(diào)遞增，且f（2）=100，由此可得函數(shù)解析式；

（2）由條件知，200sin（x）+300≥400，結(jié)合x∈N*，1≤x≤12，即可得到結(jié)論．

解：（1）設(shè)該函數(shù)為f（x）=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，0＜|φ|＜π）

根據(jù)①，可知函數(shù)的周期是12，∴=12，∴ω=；

根據(jù)②可知，f（2）最小，f（8）最大，且f（8）﹣f（2）=400，故該函數(shù)的振幅為200；

根據(jù)③可知，f（x）在[2，8]上單調(diào)遞增，且f（2）=100，∴f（8）=500

∴，∴

∵f（2）最小，f（8）最大，

∴sin（2×+φ）=﹣1，sin（8×+φ）=1，

∵0＜|φ|＜π，

∴φ=

∴f（x）=200sin（x）+300；

（2）由條件知，200sin（x）+300≥400，化簡可得sin（x），

∴2kπ+≤x≤2kπ+，k∈Z

∴12k+6≤x≤12k+10，k∈Z

∵x∈N*，1≤x≤12

∴x=6，7，8，9，10

∴只有6，7，8，9，10五個月份要準備400份以上的食物．