Question

如圖：在三棱錐D-ABC中，已知是正三角形，AB平面BCD，，E為BC的中點(diǎn)，F(xiàn)在棱AC上，且

（1）求三棱錐D－ABC的表面積；

（2）求證AC⊥平面DEF；

（3）若M為BD的中點(diǎn)，問(wèn)AC上是否存在一點(diǎn)N，使MN∥平面DEF？若存在，說(shuō)明點(diǎn)N的位置；若不存在，試說(shuō)明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）

（2）先證EF⊥AC，再證DE⊥AC，即可證AC⊥平面DEF

（3）存在這樣的點(diǎn)N，當(dāng)CN＝時(shí)，MN∥平面DEF．

【解析】

試題分析：

解：（1）∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥BC，AB⊥BD．∵△BCD是正三角形，且AB=BC=a，∴AD=AC= a．設(shè)G為CD的中點(diǎn)，則CG= a，AG=a．∴S_△ABC=S_△ABD=a²，S_△BCD=a²，S_△ACD=a²．三棱錐D-ABC的表面積為S_△ACD=

（2）取AC的中點(diǎn)H，∵AB=BC，∴BH⊥AC．∵AF=3FC，∴F為CH的中點(diǎn)．∵E為BC的中點(diǎn)，∴EF∥BH．則EF⊥AC．∵△BCD是正三角形，∴DE⊥BC．∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥DE．∵AB∩BC=B，∴DE⊥平面ABC．∴DE⊥AC．∵DE∩EF=E，∴AC⊥平面DEF．

（3）存在這樣的點(diǎn)N，當(dāng)CN=CA時(shí)，MN∥平面DEF．連CM，設(shè)CM∩DE=O，連OF．由條件知，O為△BCD的重心，CO=CM．∴當(dāng)CF=CN時(shí)，MN∥OF．∴CN=?CA=CA．

考點(diǎn)：棱錐的結(jié)構(gòu)特征

點(diǎn)評(píng)：本題考查棱錐的結(jié)構(gòu)特征，證明線面垂直，線面平行，考查邏輯思維能力，是中檔題．