Question

12．函數(shù)f（x）=sin（$\frac{π}{2}$-x）sinx-$\sqrt{3}$cos²x在[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]的單調(diào)減區(qū)間為$[\frac{5π}{12}，\frac{2π}{3}]$．

Answer 1

分析 利用倍角公式、和差公式可得f（x）=$sin（2x-\frac{π}{3}）$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．利用正弦函數(shù)的單調(diào)性可得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間，與[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]求交集即可得出．

解答 解：f（x）=sin（$\frac{π}{2}$-x）sinx-$\sqrt{3}$cos²x=cosxsinx-$\sqrt{3}$×$\frac{1+cos2x}{2}$=$\frac{1}{2}sin2x$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$sin（2x-\frac{π}{3}）$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
由$2kπ+\frac{π}{2}$≤$2x-\frac{π}{3}$≤$\frac{3π}{2}$+2kπ，解得：kπ+$\frac{5}{12}$π≤x≤$\frac{11}{12}$π+kπ（k∈Z）．
令k=0，可得$\frac{5}{12}$π≤x≤$\frac{11}{12}$π，
求交集$[\frac{5π}{12}，\frac{11π}{12}]$∩[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]=$[\frac{5π}{12}，\frac{2π}{3}]$，
∴函數(shù)f（x）在[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]的單調(diào)減區(qū)間為$[\frac{5π}{12}，\frac{2π}{3}]$，
故答案為：$[\frac{5π}{12}，\frac{2π}{3}]$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了倍角公式、和差公式、三角函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．