Question

已知函數(shù).

（1）是否存在點(diǎn)，使得函數(shù)的圖像上任意一點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱的點(diǎn)Q也在函數(shù)的圖像上？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（2）定義，其中，求；

（3）在（2）的條件下，令，若不等式對(duì)且恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（1）存在，且點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2）；（3）的取值范圍是.

【解析】

試題分析：（1）先假設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)圖象對(duì)稱的定義列式求出點(diǎn)的坐標(biāo)即可；（2）利用（1）中條件的條件，并注意到定義中第項(xiàng)與倒數(shù)第項(xiàng)的和這一條件，并利用倒序相加法即可求出的表達(dá)式，進(jìn)而可以求出的值；（3）先利用和之間的關(guān)系求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后在不等式中將與含的代數(shù)式進(jìn)行分離，轉(zhuǎn)化為恒成立的問(wèn)題進(jìn)行處理，最終利用導(dǎo)數(shù)或作差（商）法，通過(guò)利用數(shù)列的單調(diào)性求出的最小值，最終求出實(shí)數(shù)的取值范圍.

試題解析：（1）假設(shè)存在點(diǎn)，使得函數(shù)的圖像上任意一點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱的點(diǎn)Q也在函數(shù)的圖像上，則函數(shù)圖像的對(duì)稱中心為.

由，得，

即對(duì)恒成立，所以解得

所以存在點(diǎn)，使得函數(shù)的圖像上任意一點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱的點(diǎn)也在函數(shù)的圖像上.

（2）由（1）得.

令，則.

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013102910522247779699/SYS201310291054305809623905_DA.files/image035.png">①，

所以②，

由①+②得，所以.

所以.

（3）由（2）得，所以.

因?yàn)楫?dāng)且時(shí)，.

所以當(dāng)且時(shí)，不等式恒成立.

設(shè)，則.

當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增.

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013102910522247779699/SYS201310291054305809623905_DA.files/image055.png">，所以，

所以當(dāng)且時(shí)，.

由，得，解得.

所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.

考點(diǎn)：函數(shù)的對(duì)稱性、倒序相加法、導(dǎo)數(shù)