Question

【題目】設(shè)等比數(shù)列{an}的前項(xiàng)n和Sn ， a2= ，且S1+ ，S2 ， S3成等差數(shù)列，數(shù)列{bn}滿足bn=2n．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)cn=anbn ， 若對(duì)任意n∈N+ ， 不等式c1+c2+…+cn≥ λ+2Sn﹣1恒成立，求λ的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，

∵ 成等差數(shù)列，∴ ，∴ ，

∵ ，∴ ，∴ ，

∴

（2）解：設(shè)數(shù)列{cn}的前項(xiàng)n和為Tn，則Tn=c1+c2+c3+…+cn，

又 ，

∴ ， ，

兩式相減得 ，

∴ ，

又 ，

∴對(duì)任意n∈N+，不等式 恒成立等價(jià)于 恒成立，

即 恒成立，即 恒成立，

令 ， ，

∴f（n）關(guān)于n單調(diào)遞減，∴ ，∴λ≤2，

∴λ的取值范圍為（﹣∞，2]

【解析】（1）由S1+ ，S2 ， S3成等差數(shù)列，可得 ，化簡為 ，又因?yàn)? ，解得a1和q，即可求出等比數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）因?yàn)閧an}是等比數(shù)列，{bn}是等差數(shù)列，而cn=anbn ， 故利用錯(cuò)位相減法即可求出Tn=c1+c2+…+cn ， 將Tn和Sn代入不等式，并整理得 ，記f（n）= ，
利用作差法可得f（n）關(guān)于n單調(diào)遞減，則f（n）max=f（1）=1，故 ，即λ≤2．
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用數(shù)列的前n項(xiàng)和和數(shù)列的通項(xiàng)公式，掌握數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系；如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式即可以解答此題．