Question

如圖，橢圓的兩頂點為A(

2

，0)，B（0，1），該橢圓的左右焦點分別是F₁，F(xiàn)₂．
（1）在線段AB上是否存在點C，使得CF₁⊥CF₂？若存在，請求出點C的坐標；若不存在，請說明理由．
（2）設過F₁的直線交橢圓于P，Q兩點，求△PQF₂面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)橢圓的方程求得a和b，c，進而求得焦點的坐標，表示出

AB

假設存在點C，使CF₁⊥CF₂，求得|OC|，令

AC

=λ

AB

，利用

OC

=

OA

+

AC

=

OA

+λ

AB

求得λ的方程，解方程求得λ．
（2）設出P，Q的坐標，通過焦半徑公式求得|PQ|的表達式，先看PQ⊥x軸時，則可求得x₁=x₂=-1進而求得△PQF₂面積；再看PQ與x軸不垂直時，設出PQ的方程，由點到直線的距離公式可得點F₂到PQ的距離表示出△PQF₂面積的表達式，利用基本不等式求得△PQF₂面積的范圍，最后綜合推斷出△PQF₂面積的最大值．

解答：解：由已知可得橢圓的方程為

x2

2

+y2=1，
且有：a=

2

，b=c=1，F(xiàn)₁（-1，0），
F₂（1，0），

AB

=(-

2

，1)．
（1）假設存在點C，使得CF₁⊥CF₂，
則：OC=

1

2

F1F2=1，
令

AC

=λ

AB

（λ∈[0，1]），
而

OC

=

OA

+

AC

=

OA

+λ

AB

=
(

2

，0)+λ(-

2

，1)=(

2

-λ

2

，λ)，
故有：(

2

-

2

λ)2+λ2=1，解得λ=1或λ=

1

3

．
所以點C的坐標為C（0，1）或C(

2 2

3

，

1

3

)．

（2）若設過F₁的直線l交橢圓于P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則由焦半徑公式可得：PQ=PF1+QF1=(a+ex1)+(a+ex2)=2

2

+

2

2

(x1+x2)，
當PQ⊥x軸時，x₁=x₂=-1，此時S△PQF2=

1

2

PQ•F1F2=PQ=2

2

-

2

=

2

．
當PQ與x軸不垂直時，不妨設直線PQ的方程為y=k（x+1），（k＞0），
則由：

y=k(x+1) x2+2y2=2

得：（2k²+1）x²+4k²x+2k²-2=0，故x1+x2=-

4k2

2k2+1

，
于是可得：PQ=2

2

+

2

2

(x1+x2)=2

2

-

2

2

•

4k2

2k2+1

=2

2

•

k2+1

2k2+1

．
又由點到直線的距離公式可得點F₂到PQ的距離d=

2k

k2+1

，
故S△PQF2=

1

2

PQ•d=

1

2

•2

2

•

k2+1

2k2+1

•

2k

k2+1

=2

2

•

k• k2+1

2k2+1

．
因為2k2+1=k2+k2+1＞2k•

k2+1

，
所以S△PQF2=2

2

•

k• k2+1

2k2+1

＜

2

．
綜上可知，當直線PQ⊥x軸時，△PQF₂的面積取到最大值

2

．

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．考查了運用解析幾何的基礎知識解決實際問題的能力．