Question

（2010•南寧二模）設F₁、F₂分別為橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右兩個焦點．
（Ⅰ）若橢圓C上的點A（1，

3

2

）到F₁、F₂兩點的距離之和等于4，寫出橢圓C的方程和焦點坐標；
（Ⅱ）設點P是（Ⅰ）中所得橢圓上的動點，Q（0，

1

2

），求|PQ|的最大值；
（Ⅲ）已知橢圓具有性質：若M、N是橢圓C上關于原點對稱的兩個點，點P在橢圓上任意一點，當直線PM、PN的斜率都存在，并記為K_PM、K_PN時，那么K_PM與K_PN之積是與點P位置無關的定值．設對雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1寫出具有類似特性的性質（不必給出證明）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）若橢圓C上的點A（1，

3

2

）到F₁、F₂兩點的距離之和等于4，利用橢圓的定義，求出a，b，c 即可得到橢圓C的方程和焦點坐標；
（Ⅱ）設點P的坐標，代入（Ⅰ）中所得橢圓方程，利用Q（0，

1

2

），求|PQ|的表達式，結合y的范圍即可求出y的最大值；
（Ⅲ）類似橢圓的定義，直接把橢圓換為雙曲線即可得到性質．

解答：解：（Ⅰ）橢圓C的焦點坐標在x軸上，由橢圓上的點A到到F₁、F₂兩點的距離之和等于4，
得2a=4，即a=2，
又橢圓C上的點A（1，

3

2

），因此

1

22

+

( 3 2 )2

b2

=1，解得b=

3

，所以c=1，
所以橢圓的標準方程為

x2

4

+

y2

3

=1，F(xiàn)₁、F₂兩焦點坐標為（-1，0），（1，0）．
（Ⅱ）設點P是（Ⅰ）中所得橢圓上的動點設（x，y），
則

x2

4

+

y2

3

=1，∴x2=4-

4

3

y2，Q（0，

1

2

），
|PQ|2=x2+(y-

1

2

)2=-

1

3

y2-y+

17

4

=-

1

3

(y+

3

2

)2+5，
因為-

3

≤y≤

3

，
∴當y=-

3

2

時，|PQ|的最大值=

5

；
（Ⅲ）類似性質，若M、N是雙曲線雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1上關于原點對稱的兩個點，點P在雙曲線上任意一點，當直線PM、PN的斜率都存在，并記為K_PM、K_PN時，那么K_PM與K_PN之積是與點P位置無關的定值．

點評：本題是中檔題，考查橢圓的定義，標準方程的求法，兩點間的距離公式最值的求法，考查計算能力轉化思想的應用．