Question

15．在等比數(shù)列{a_n}中，a₁+a_n=82，a₃•a_n-2=81，且數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=121，則此數(shù)列的項(xiàng)數(shù)n等于5．

Answer 1

分析 由題意易得a₁和a_n是方程x²-82x+81=0的兩根，求解方程得到兩根，分?jǐn)?shù)列遞增和遞減可得a₁，a_n，再由S_n=121得q，進(jìn)一步可得n值．

解答 解：由等比數(shù)列的性質(zhì)可得a₁a_n=a₃•a_n-2=81，
又a₁+a_n=82，
∴a₁和a_n是方程x²-82x+81=0的兩根，
解方程可得x=1或x=81，
若等比數(shù)列{a_n}遞增，則a₁=1，a_n=81，
∵S_n=121，∴$\frac{{a}_{1}-{a}_{n}q}{1-q}$=$\frac{1-81q}{1-q}$=121，
解得q=3，∴81=1×3^n-1，解得n=5；
若等比數(shù)列{a_n}遞減，則a₁=81，a_n=1，
∵S_n=121，∴$\frac{{a}_{1}-{a}_{n}q}{1-q}$=$\frac{81-q}{1-q}$=121，
解得q=$\frac{1}{3}$，∴1=81×（$\frac{1}{3}$）^n-1，解得n=5．
綜上，數(shù)列的項(xiàng)數(shù)n等于5．
故答案為：5．

點(diǎn)評 本題考查等比數(shù)列的求和公式和通項(xiàng)公式，涉及等比數(shù)列的性質(zhì)和韋達(dá)定理，屬中檔題．