Question

已知函數.

（1）求的值域和最小正周期；

（2）若對任意，使得恒成立，求實數的取值范圍.

 

Answer 1

（1）值域為，最小正周期為；（2）實數的取值范圍是.

【解析】

試題分析：（1）首先利用二倍角公式的降冪變形對的表達式進行恒等變形，將其化為形如的形式，再利用三角函數的性質即可求其最小正周期與值域：

，

∵，∴，，

即的值域為，最小正周期為；（2）根據題意變形可知，問題等價于對任意的，方程恒成立，而由（1）可知當時，，故，故，因此問題等價于關于的不等式：，從而解得實數的取值范圍是.

試題解析：（1）

，

∵，∴，，

即的值域為，最小正周期為；

（2）當時，，故，

此時，由知，，

∴，即，

即，解得，即實數的取值范圍是.

考點：1.三角恒等變形；2.解不等式.