Question

9．在四棱錐E-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，△BCE為等邊三角形，平面ABCD⊥平面BCE，F(xiàn)為CD上的動點，當(dāng)AF+EF最小時，四棱錐E-ABCD與三棱錐F-ABE的外接球的半徑之比為2$\sqrt{7}$：5．

Answer 1

分析 建立空間直角坐標系，如圖所示，M（0，0，0），A（-1，2，0），B（-1，0，0），C（1，0，0），D（1，2，0），E（0，0，$\sqrt{3}$），設(shè)點F（1，y，0），其中0≤y≤2；|AF|+|EF|=$\sqrt{4{+（y-2）}^{2}}$+$\sqrt{1{+y}^{2}+3}$=$\sqrt{{（y-2）}^{2}+4}$+$\sqrt{{y}^{2}+4}$，如圖根據(jù)對稱性，F(xiàn)為CD上的中點時，AF+EF最小，設(shè)四棱錐E-ABCD心為G（0，1，m）則GE=GC⇒m=$\frac{1}{\sqrt{3}}$，⇒四棱錐E-ABCD半徑R²，同理三棱錐F-ABE的外接球半徑r²，即可求四棱錐E-ABCD與三棱錐F-ABE的外接球的半徑之比

解答 解：建立空間直角坐標系，如圖所示，
底面正方形ABCD的邊長為2，△BCE為等邊三角形，平面ABCD⊥平面BCE，
∴M（0，0，0），A（-1，2，0），B（-1，0，0），C（1，0，0），D（1，2，0），E（0，0，$\sqrt{3}$），
設(shè)點F（1，y，0），其中0≤y≤2；
|AF|+|EF|=$\sqrt{4{+（y-2）}^{2}}$+$\sqrt{1{+y}^{2}+3}$=$\sqrt{{（y-2）}^{2}+4}$+$\sqrt{{y}^{2}+4}$…①
①式表示在平面直角坐標系中點P（a，0）到點M（0，2），N（2，2）的距離和，如圖根據(jù)對稱性，可知a=1時，其距離和最小．
∴F為CD上的中點時，AF+EF最小，
設(shè)四棱錐E-ABCD心為G（0，1，m）
則GE=GC⇒m=$\frac{1}{\sqrt{3}}$，∴四棱錐E-ABCD半徑R²=$\frac{7}{3}$
設(shè)三棱錐F-ABE的外接球球心H（x，y，z）
則HA=HB=HE=HF⇒x=-$\frac{1}{4}$，y=1，z=$\frac{5\sqrt{3}}{12}$．
    三棱錐F-ABE的外接球半徑r²=$\frac{25}{12}$，
四棱錐E-ABCD與三棱錐F-ABE的外接球的半徑之比等于2$\sqrt{7}$：5
故答案為：2$\sqrt{7}$：5

點評 本題考查了空間幾何體的外接球，涉及到了運用函數(shù)的知識處理動點問題，建立坐標系求球的球心，屬于難題．