Question

已知△ABC的內角A、B、C所對的邊分別為a，b，c，且△ABC的外接圓半徑為R，

AB

•

AC

=9．sinB=cosAsinC．
（1）求△ABC的三邊的長；
（2）設P是△ABC（含邊界）內的一點，P到三邊AC、BC、AB的距離分別是x、y、z．
①寫出x、y、z．所滿足的等量關系；
②利用線性規(guī)劃相關知識求出x+y+z的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設△ABC中的三邊分別為a、b、c，由三角形內角和化簡sinB=cosAsinC，算出C=

π

2

．由此化簡，

AB

•

AC

=9，得到b²=9，解出b=3，代入三角形面積公式算出a=4，最后由勾股定理即可算出c的長；
（2）①由三角形面積公式將△ABC的面積分為三塊計算，化簡得3x+4y+5z=12，即為x、y、z．所滿足的等量關系；
②由①化簡出x+y+z=

12

5

+

1

5

（2x+y），設目標函數(shù)t=2x+y，并根據(jù)不等式畫出如圖可行域，利用直線平移法解出0≤t≤8，從而可得x+y+z的取值范圍．

解答：解：（1）設△ABC中角ABC所對邊分別為a、b、c
由sinB=cosAsinC，得sin（A+C）=cosAsinC
∴sinAcosC=0，可得C=

π

2

，
又∵

AB

•

AC

=9，得bccosA=9
∴結合ccosA=b，有b²=9，可得b=3．
∵S△ABC=

1

2

a•b=6，
∴a=4，
結合c²=a²+b²，得c=5，
即△ABC的三邊長a=4，b=3，c=5；
（2）①S_△PAC+S_△PBC+S_△PAB=S_△ABC，可得

1

2

•3x+

1

2

•4y+

1

2

•5z=6，
故3x+4y+5z=12．
②x+y+z=x+y+

1

5

(12-3x-4y)=

12

5

+

1

5

(2x+y)
令t=2x+y，依題意有

x≥0 y≥0 3x+4y≤12

畫出可行域如圖
可知當x=0，y=0時t_min=0
當x=4，y=0時，t_max=8，即0≤t≤8
故x+y+z=

12

5

+

1

5

t的取值范圍為[

12

5

，4]．

點評：本題著重考查了向量的數(shù)量積、三角形的面積公式、勾股定理的知識，考查了簡單的線性規(guī)則的知識，屬于中檔題．解題過程中注意轉化化歸、數(shù)形結合和方程思想的運用．