本題有(1)、(2)、(3)三個選答題,每題7分,請考生任選2題作答,滿分14分.如果多做,則按所做的前兩題記分,作答時,先在答題卡上把所選題目對應(yīng)的題號填入括號中.
(1)選修4-2:矩陣與變換
已知二階矩陣M=
a1
3d
有特征值λ=-1及對應(yīng)的一個特征向量e1=
1
-3

(Ⅰ)求距陣M;
(Ⅱ)設(shè)曲線C在矩陣M的作用下得到的方程為x2+2y2=1,求曲線C的方程.
(2)選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為
x=2+t
y=t+1
(t
為參數(shù)),曲線P在以該直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O的為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系下的方程為p2-4pcosθ+3=0.
(Ⅰ)求曲線C的普通方程和曲線P的直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)設(shè)曲線C和曲線P的交點(diǎn)為A、B,求|AB|.
(3)選修4-5:不等式選講
已知函數(shù)f(x)=|x+1|+|x-2|,不等式t≤f(x)在x∈R上恒成立.
(Ⅰ)求實數(shù)t的取值范圍;
(Ⅱ)記t的最大值為T,若正實數(shù)a、b、c滿足a2+b2+c2=T,求a+2b+c的最大值.
分析:(1):(I)根據(jù)矩陣的特征值與特征向量的定義建立等式關(guān)系,解之即可求出a和d的值,從而求出矩陣M;
(II)設(shè)點(diǎn)A(x,y)為曲線C上的任一點(diǎn),它在矩陣M的作用下得到的點(diǎn)為A'(x',y'),然后建立等式關(guān)系,將A'(x',y')代入方程為x2+2y2=1進(jìn)行求解即可.

(2)(Ⅰ)曲線C的參數(shù)方程為
x=2+t
y=t+1
(t
為參數(shù)),消去參數(shù)t即得普通方程,再根據(jù)極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)方程的互化公式求得曲線C在極坐標(biāo)系中的方程.
(Ⅱ)由(I)把直線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程,把曲線P的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程,求出圓心到直線的距離,再根據(jù)圓的半徑,求出弦長.

(3)(I)首先已知不等式t≤f(x)在x∈R上恒成立,則可以求出f(x)的最小值,使得t≤f(x)min即可.
(II)由(Ⅰ)知,T=3,即a2+b2+c2=3.由柯西不等式知:(a+2b+c)2≤(a2+b2+c2)(12+22+12),即可求出a+2b+c的最大值.
解答:解:(1)(本小題滿分7分)選修4-2:矩陣與變換
(Ⅰ)依題意得:
a1
3d
1
-3
=(-1)
1
-3
,即
a-3=-1
3-3d=3
,…(2分)
解得
a=2
d=0
,所以M=
21
30
.…(3分)
(Ⅱ)設(shè)曲線C上一點(diǎn)P(x,y)在矩陣M的作用下得到曲線x2+2y2=1上一點(diǎn)P'(x',y'),
x′
y′
=
21
30
x
y
,即
x′=2x+y
y′=3x
,…(5分)
又因為(x')2+2(y')2=1,所以(2x+y)2+2(3x)2=1,
整理得曲線C的方程為22x2+4xy+y2=1.…(7分)

(2)(本小題滿分7分)選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
(Ⅰ)曲線C的普通方程為x-y-1=0,曲線P的直角坐標(biāo)方程為x2+y2-4x+3=0.…(3分)
(Ⅱ)曲線P可化為(x-2)2+y2=1,表示圓心在(2,0),半徑r=1的圓,
則圓心到直線C的距離為d=
|1|
2
=
2
2
,所以|AB|=2
r2-d2
=
2
.…(7分)

(3)(本小題滿分7分)選修4-5:不等式選講
(Ⅰ)不等式t≤f(x)在x∈R上恒成立,則t≤f(x)min,
又因為f(x)=|x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3,所以函數(shù)f(x)的最小值為3,
所以t的取值范圍為(-∞,3].…(3分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,T=3,即a2+b2+c2=3.
由柯西不等式知:(a+2b+c)2≤(a2+b2+c2)(12+22+12),則(a+2b+c)2≤18.
所以a+2b+c的最大值為2
3
,…(6分)
當(dāng)且僅當(dāng)a=
2
2
,b=
2
c=
2
2
時等號成立.…(7分)
點(diǎn)評:(1)本小題主要考查矩陣與變換、曲線在矩陣變換下的曲線的方程,考查運(yùn)算求解能力及化歸與轉(zhuǎn)化思想.
(2)本小題主要考查曲線的參數(shù)方程與極坐標(biāo)方程、直線的極坐標(biāo)方程等基礎(chǔ)知識,考查運(yùn)算求解能力以及化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想,屬于基礎(chǔ)題.
(3)此小題主要考查恒成立的問題、柯西不等式,屬于基礎(chǔ)題型.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

本題有(1)、(2)、(3)三個選答題,請考生任選2題作答.
(1)選修4-2:矩陣與變換
已知a,b∈R,若M=
-1a
b3
所對應(yīng)的變換TM把直線L:2x-y=3變換為自身,求實數(shù)a,b,并求M的逆矩陣.
(2)選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知直線l的參數(shù)方程:
x=t
y=1+2t
(t為參數(shù))和圓C的極坐標(biāo)方程:ρ=2
2
sin(θ+
π
4
)

①將直線l的參數(shù)方程化為普通方程,圓C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程;
②判斷直線l和圓C的位置關(guān)系.
(3)選修4-5:不等式選講
已知函數(shù)f(x)=|x-1|+|x-2|.若不等式|a+b|+|a-b|≥|a|f(x)(a≠0,a,b∈R)恒成立,求實數(shù)x的范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

本題有(1)、(2)、(3)三個選擇題,每題7分,請考生任選2題作答,滿分14分.如果多做,則按所做的前兩題記分.
(1).選修4-2:矩陣與變換
已知矩陣A=
1a
-1b
,A的一個特征值λ=2,其對應(yīng)的特征向量是α1=
2
1

(Ⅰ)求矩陣A;
(Ⅱ)若向量β=
7
4
,計算A2β的值.

(2).選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知橢圓C的極坐標(biāo)方程為ρ2=
12
3cos2θ+4sin2θ
,點(diǎn)F1,F(xiàn)2為其左、右焦點(diǎn),直線l的參數(shù)方程為
x=2+
2
2
t
y=
2
2
t
(t為參數(shù),t∈R).求點(diǎn)F1,F(xiàn)2到直線l的距離之和.
(3).選修4-5:不等式選講
已知x,y,z均為正數(shù).求證:
x
yz
+
y
zx
+
z
xy
1
x
+
1
y
+
1
z

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

本題有(1)、(2)、(3)三個選答題,每小題7分,請考生任選2題作答,滿分14分,如果多做,則按所做的前兩題計分.
(1)選修4-2:矩陣與變換
已知矩陣A=
12
34

①求矩陣A的逆矩陣B;
②若直線l經(jīng)過矩陣B變換后的方程為y=x,求直線l的方程.
(2)選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知極坐標(biāo)系的極點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合,極軸與直角坐標(biāo)系中x軸的正半軸重合.圓C的參數(shù)方程為
x=1+2cosα
y=-1+2sinα
(a為參數(shù)),點(diǎn)Q極坐標(biāo)為(2,
7
4
π).
(Ⅰ)化圓C的參數(shù)方程為極坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)若點(diǎn)P是圓C上的任意一點(diǎn),求P、Q兩點(diǎn)距離的最小值.
(3)選修4-5:不等式選講
(I)關(guān)于x的不等式|x-3|+|x-4|<a的解不是空集,求a的取值范圍.
(II)設(shè)x,y,z∈R,且
x2
16
+
y2
5
+
z2
4
=1
,求x+y+z的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

本題有(1)、(2)、(3)三個選答題,每題7分,請考生任選2題作答,滿分14分.如果多做,則按所做的前兩題記分.
(Ⅰ)選修4-2:矩陣與變換,
已知矩陣A=
01
a0
,矩陣B=
02
b0
,直線l1
:x-y+4=0經(jīng)矩陣A所對應(yīng)的變換得直線l2,直線l2又經(jīng)矩陣B所對應(yīng)的變換得到直線l3:x+y+4=0,求直線l2的方程.
(Ⅱ)選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程,
求直線
x=-2+2t
y=-2t
被曲線
x=1+4cosθ
y=-1+4sinθ
截得的弦長.
(Ⅲ)選修4-5:不等式選講,解不等式|x+1|+|2x-4|>6.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

本題有(1)、(2)、(3)三個選答題,每題7分,請考生任選2題作答,滿分14分
(1)已知矩陣M=
12
21
,β=
1
7
,(Ⅰ)求M-1;(Ⅱ)求矩陣M的特征值和對應(yīng)的特征向量;(Ⅲ)計算M100β.
(2)曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ=1+cosθ,點(diǎn)A的極坐標(biāo)是(2,0),求曲線C在它所在的平面內(nèi)繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一周而形成的圖形的周長.
(3)已知a>0,求證:
a2+
1
a2
-
2
≥a+
1
a
-2

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