Question

已知函數(shù)，數(shù)列是公差為d的等差數(shù)列，是公比為q（）的等比數(shù)列.若

(Ⅰ)求數(shù)列，的通項公式；     

(Ⅱ)設(shè)數(shù)列對任意自然數(shù)n均有，求 的值；

(Ⅲ)試比較與的大小.

 

Answer 1

【答案】

（1），  （2）        （3）

【解析】

試題分析：(Ⅰ) ∵ ， ∴ .

即 ， 解得 d =2.

∴ . ∴     2分

∵ , ∴ .

∵ , ∴ .

又， ∴ .  4分

(Ⅱ) 由題設(shè)知 ， ∴.

當(dāng)時, ,

,

兩式相減,得.

∴  (適合).  7分

設(shè)T=,

∴

兩式相減 ,得

.

∴ .  10分

(Ⅲ) ,  .

現(xiàn)只須比較與的大小.

當(dāng)n=1時, ；

當(dāng)n=2時, ；

當(dāng)n=3時, ；

當(dāng)n=4時, .

猜想時，.     12分            

用數(shù)學(xué)歸納法證明

(1)當(dāng)n=2時，左邊，右邊，成立.

(2)假設(shè)當(dāng)n=k時, 不等式成立，即.

當(dāng)n=k+1時,

.

即當(dāng)n=k+1時，不等式也成立.

由（1）（2），可知時，都成立.

所以 （當(dāng)且僅當(dāng)n＝1時，等號成立）

所以.即.    14分

考點：等差數(shù)列和等比數(shù)列

點評：主要是考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式和求和運用，以及數(shù)學(xué)歸納法來猜想證明大小，屬于難度試題。