Question

已知．
（1）當(dāng)m=1，α=2時(shí)
（i）求證：對(duì)于給定的x₀∈[0，1），不等式f（x）-f（x₀）≤（x-x₀）f'（x₀）對(duì)于x∈[0，1）恒成立；
（ii）若實(shí)數(shù)a、b、c∈[0，+∞），且a+b+c=1，求f（a）+f（b）+f（c）的最大值．
（2）當(dāng)α=1時(shí)，若對(duì)x∈[1，+∞）恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

（1）（i）證明：當(dāng)m=1，α=2時(shí)，，
∴f（x）-f（x₀）≤（x-x₀）×
不妨設(shè)x＞x₀，∵x₀∈[0，1），∴1-xx₀＜，1+x²＞
∴f（x）-f（x₀）≤（x-x₀）×=（x-x₀）f'（x₀）
（ii）令x₀=，則
∴f（a）+f（b）+f（c）-3≤（a+b+c-1）=0
∴f（a）+f（b）+f（c）≤3=
∴f（a）+f（b）+f（c）的最大值為（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=時(shí)取等號(hào)）．
（2）解：由題意m≥0，否則當(dāng)x→+∞時(shí)，f（lnx）＜0，而矛盾
∴對(duì)x∈[1，+∞）恒成立，等價(jià)于對(duì)x∈[1，+∞）恒成立
等價(jià)于g（x）=xlnx+（1-x）（mlnx+1）≥0對(duì)x∈[1，+∞）恒成立
g′（x）=
若m≥1，則g′（x）≤0，∴g（x）≤g（1）=0矛盾；
若0≤m≤1，則g″（x）=
①若，則0≤m≤，∴g′（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)，∴g′（x）≥g′（1）=0，
∴g（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)，g（x）≥g（1）=0；
②若，則＜m≤1，∴g′（x）在[1，）上為減函數(shù)，在（，+∞）上為增函數(shù)
∴g′（x）_min=g′（）＞g′（1）=0，
∴g（x）在[1，）上為減函數(shù)，∴g（x）≤g（1）=0；
綜上知，實(shí)數(shù)m的取值范圍是[0，]．
分析：（1）（i）證明：當(dāng)m=1，α=2時(shí)，f（x）-f（x₀）≤（x-x₀）×，由此可得結(jié)論；
（ii）令x₀=，則，相加，即可求f（a）+f（b）+f（c）的最大值．
（2）先判斷m≥0，進(jìn)而對(duì)x∈[1，+∞）恒成立，等價(jià)于對(duì)x∈[1，+∞）恒成立，等價(jià)于g（x）=xlnx+（1-x）（mlnx+1）≥0對(duì)x∈[1，+∞）恒成立，分類討論，即可證得．
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查不等式的證明，考查恒成立問題，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．