Question

19．如圖，在三棱錐P-ABC中，AC=BC=2，AP=BP=AB，BC⊥平面PAC．
（Ⅰ）求證：PC⊥AB；
（Ⅱ）求三棱錐P-ABC的體積．
（Ⅲ）（理科做，文科不做）求二面角B-AP-C的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取AB中點D，連結(jié)PD、CD．由已知可得PD⊥AB且CD⊥AB．然后利用線面垂直的判定可得AB⊥平面PCD．進一步得到PC⊥AB；
（Ⅱ）由BC⊥平面PAC，得BC⊥AC，BC⊥PC，求解三角形可得AC⊥PC．求出三角形APC的面積，然后利用等積法求得三棱錐P-ABC的體積；
（Ⅲ）取AP中點E，連結(jié)BE，CE．由題意可證∠BEC是二面角B-AP-C的平面角．然后求解三角形可得sin∠BEC=$\frac{BC}{BE}=\frac{\sqrt{6}}{3}$．即二面角B-AP-C的正弦值為$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

解答 （Ⅰ）證明：取AB中點D，連結(jié)PD、CD．
∵AP=BP，∴PD⊥AB．
∵AC=BC，∴CD⊥AB． 
又PD∩CD=D，∴AB⊥平面PCD．
∵PC?平面PCD，∴PC⊥AB；
（Ⅱ）解：∵BC⊥平面PAC，∴BC⊥AC，BC⊥PC，
又AC=BC=2，∴AB=$2\sqrt{2}$，則AB=AP=PB=$2\sqrt{2}$，
∴PC=2，則PC²+AC²=PA²，即AC⊥PC．
∴${S}_{△APC}=\frac{1}{2}×2×2=2$，${V}_{P-ABC}={V}_{B-APC}=\frac{1}{3}•{S}_{△APC}•BC=\frac{1}{3}×2×2=\frac{4}{3}$；
（Ⅲ）解：取AP中點E，連結(jié)BE，CE．
∵AP=BP，∴BE⊥AP，
∵BC⊥平面PAC，∴BC⊥AP，
又∵BE∩BC=B，∴AP⊥平面BEC，則AP⊥EC．
∴∠BEC是二面角B-AP-C的平面角．
∵BC⊥平面PAC，∴BC⊥AC，
又∵AC=BC=2，∴AB=2$\sqrt{2}$，
∵AP=BP=AB，∴$BE=\frac{\sqrt{3}}{2}AB=\sqrt{6}$．
∵BC⊥平面PAC，∴BC⊥CE，則∠BCE=90°．
∴在△BCE中，sin∠BEC=$\frac{BC}{BE}=\frac{\sqrt{6}}{3}$．
故二面角B-AP-C的正弦值為$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

點評 本題考查線面垂直的判定與性質(zhì)，考查了二面角的平面角的求法，正確找出二面角的平面角是解題的關(guān)鍵，訓練了利用等積法求多面體的體積，屬中檔題．