函數(shù)f(x)=
x3-6x2+9x-4，(x≥0)
ln|x|，(x＜0)
的零點個數(shù)為（　�。�
分析：當x≥0時，f（x）=x3-6x2+9x-4，利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)單調(diào)性以及函數(shù)的極值得到函數(shù)的
零點個數(shù)．當x＜0時，由f（x）=ln|x|=0可得函數(shù)的零點．綜上可得函數(shù)零點個數(shù)．
解答：解：當x≥0時，f（x）=x3-6x2+9x-4，f′（x）=3x2-12x+9=3（x-1）（x-3）．
令f′（x）=0可得x=1，或 x=3．
在（0，1）上，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增． 在（1，3）上，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減．
在（3，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增．
故f（1）為極大值，f（3）為極小值．f（1）=0，f（3）=-4，
故f（x）在[0，+∞）上有兩個零點．
當x＜0時，f（x）=ln|x|，令f（x）=ln|x|=0，可得x=-1，故f（x）在（-∞，0）上有唯一的零點．
綜上可得，函數(shù)f(x)=
x3-6x2+9x-4(x≥0)
ln|x|(x＜0)
的零點個數(shù)為3，
故選D．
點評：本題考查函數(shù)零點的定義以及函數(shù)零點判定定理的應用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想，屬于基礎題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設M是由滿足下列條件的函數(shù)f（x）構(gòu)成的集合：“①方程f（x）-x=0有實數(shù)根；②函數(shù)f（x）的導數(shù)f'（x）滿足0＜f'（x）＜1．”
（1）判斷函數(shù)f(x)=
x
3
+
cosx
4
是否是集合M中的元素，并說明理由；
（2）集合M中的元素f（x）具有下面的性質(zhì)：若f（x）的定義域為D，則對于任意[m，n]30D，都存在-15P[m，n]，使得等式f（n）-f（m）=（n-m）f'（x0）成立”，試用這一性質(zhì)證明：方程f（x）-x=0只有一個實數(shù)根；
（3）設
1
5
是方程f（x）-x=0的實數(shù)根，求證：對于f（x）定義域中任意的x2，x3，當|x2-x1|＜1，且|x3-x1|＜1時，|f（x3）-f（x2）|＜2．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

對于三次函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），定義：設f″（x）是函數(shù)y=f（x）的導數(shù)y=f′（x）的導數(shù)，若方程f″（x）=0有實數(shù)解x0，則稱點（x0，f（x0））為函數(shù)y=f（x）的“拐點”．有同學發(fā)現(xiàn)“任何一個三次函數(shù)都有‘拐點’；任何一個三次函數(shù)都有對稱中心；且‘拐點’就是對稱中心．”請你將這一發(fā)現(xiàn)為條件，函數(shù)f(x)=x3-
3
2
x2+3x-
1
4
，則它的對稱中心為
(
1
2
，1)
(
1
2
，1)
；計算f(
1
2013
)+f(
2
2013
)+f(
3
2013
)+…+f(
2012
2013
)=
2012
2012
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=-x3+
1
2
ax2+b．
（1）若y=f（x）在x=1處的極值為
5
2
，求y=f（x）的解析式并確定其單調(diào)區(qū)間；
（2）當x∈（0，1]時，若y=f（x）的圖象上任意一點處的切線的傾斜角為θ，求當0≤θ≤
π
4
時a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2009•孝感模擬）命題p：方程2x2+mx-2m2-5m-3=0有一正根一負根；
命題q：函數(shù)f(x)=x3+mx2+(m+
43
)x+6在R上有極值；
若命題“p或q”為真，“p且q”為假，求實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

判斷函數(shù)f(x)=
x3(ax-1)ax+1
(a＞0，a≠1)的奇偶性，并加以證明．

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