Question

１. (理)（本小題共14分）已知函數

（1）若 時，函數 在其定義域內是增函數，求b的取值范圍

（2）在（1）的結論下，設函數 ，求函數 的最小值；（3）設函數的圖象C₁ 與函數的圖象C₂ 交于P,Q兩點，過線段PQ的中點R作x軸的垂線分別交C₁、C₂于M、N兩點，問是否存在點R，使C₁ 在M處的切線與C₂ 在N處的切線平行？若存在，求出R的橫坐標；若不存在，請說明理由。

Answer 1

(1)    (2)    （3）略

解析:

（1）依題意：  在是增函數

對恒成立，

（2）設   則 函數化為  

 當函數y在【1，2】上為增函數，

當

 當函數y在【1，2】上為減函數

綜上：當 ； 當；

 當 

（3）設點P、Ｑ的坐標是（x₁,y₁）、（x₂，y₂），且0<x₁<x_{2 ,}，則點R的橫坐標為

。C₁在點M處的切線斜率為。C₂在點N處的切線斜率為。假設C₁在點M處的切線與C₂在點N處的切線平行，則，則

=y₂—y₁=lnx₂—lnx₁=ln

    設u=>1，則lnu=,u>1   ①

令，則

   上單調遞增，故

這與①矛盾，假設不成立，故C₁在點M處的切線與C₂在點N處的切線不平行。