Question

如圖，三棱錐A-BCD的底面是等腰直角三角形，AB⊥平面BCD，AB=BC=BD=2，E是棱CD上的任意一點(diǎn)，F(xiàn)、G分別是AC、BC的中點(diǎn)，則在下面的命題中：①平面ABE⊥平面BCD；②平面EFG∥平面ABD；③四面體FECG的體積最大值是

1

3

，真命題的個(gè)數(shù)是（　　）

A．0

B．1

C．2

D．3

Answer 1

分析：由AB⊥平面BCD，AB?平面ABE，知平面ABE⊥平面BCD；由F、G分別是AC、BC的中點(diǎn)，知FG∥平面ABD，由E是棱CD上的任意一點(diǎn)，知FE和FG都不平行于平面ABD，故平面EFG和平面ABD不平行；點(diǎn)E與點(diǎn)D重合時(shí)，四面體FECG的體積最大，由此能求出四面體FECG的體積最大值．

解答：解：∵AB⊥平面BCD，AB?平面ABE，
∴平面ABE⊥平面BCD，故①正確；
∵F、G分別是AC、BC的中點(diǎn)，
∴FG∥AB，
∵FG?平面ABD，AB?平面ABD，
∴FG∥平面ABD，
∵E是棱CD上的任意一點(diǎn)，
∴FE和FG都不平行于平面ABD，
故平面EFG和平面ABD不平行，即②錯(cuò)誤．
∵F、G分別是AC、BC的中點(diǎn)，∴FG∥AB，且FG=

1

2

AB，
∵AB⊥平面BCD，∴FG⊥平面BCD，
∴點(diǎn)E與點(diǎn)D重合時(shí)，四面體FECG的體積最大．
∵三棱錐A-BCD的底面是等腰直角三角形，AB⊥平面BCD，AB=BC=BD=2
∴S_△DCG=S_△BCD-S_△BDG=

1

2

×2×2-

1

2

×1×2=1，
∴四面體FECG的體積最大值V=

1

3

×1×1=

1

3

，故③正確．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面與平面垂直、平面與平面平行的判斷和證明，考查棱錐的體積的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地化立體問(wèn)題為平面問(wèn)題．