Question

已知y=2x²-2ax+3在區(qū)間[-1，1]上的最小值是f（a），試求f（a）的解析式，并說(shuō)明當(dāng)a∈[-2，1]時(shí)，的單調(diào)性．

Answer 1

解：y=2x²-2ax+3的對(duì)稱軸是x=，
當(dāng) ＜-1時(shí)，即a∈（-∞，-2）時(shí)，y=2x²-2ax+3在區(qū)間[-1，1]上是增函數(shù)，故f（a）=f（-1）=5+2a
當(dāng) ∈[-1，1]，即a∈[-2，2]，y=2x²-2ax+3在區(qū)間[-1，1]上先減后增，故f（a）=f（）=3-
當(dāng) ＞1，即a∈（2，+∞）時(shí)，y=2x²-2ax+3在區(qū)間[-1，1]上是減函數(shù)，故f（a）=f（1）=5-2a
故f（a）=
當(dāng)a∈[-2，1]時(shí)，f（a）=f（）=3-，函數(shù)在[-2，0]上是增函數(shù)，在[0，1]是減函數(shù)，
a∈[-2，1]時(shí)，，外層函數(shù)是減函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判斷規(guī)則知
在[-2，0]上是減函數(shù)，在[0，1]是增函數(shù)．
分析：本題要先求出函數(shù)的對(duì)稱軸，由對(duì)稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系確定出最小值在何處取到，分段求出最小值，最后用分段的形式表示出f（a）的解析式，根據(jù)所求的解析式由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷規(guī)則得出a∈[-2，1]時(shí)，的單調(diào)性即可．
點(diǎn)評(píng)：本題考點(diǎn)是復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，用分類討論的方法研究函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問(wèn)題，再由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)在閉區(qū)間上的單調(diào)性問(wèn)題，本題綜合考查了復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷規(guī)則，綜合性較強(qiáng)．