Question

若不等式（mx-1）[3m²-（x+1）m-1]≥0對?m∈（0，+∞）恒成立，則x的值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為方程mx-1=0和3m²-（x+1）m-1=0在（0，+∞）上有相同零點(diǎn)，即可得到結(jié)論．

解答： 解：以x為變量 原式等價(jià)為（mx-1）（mx-3m²+m+1）≤0對?m∈（0，+∞）恒成立，
∵二次項(xiàng)系數(shù)m²＞0，
∴對應(yīng)的拋物線f（x）=（mx-1）（mx-3m²+m+1）開口向上，
原式可以看成是兩個(gè)因式相乘的一元二次不等式只有是完全平方才能恒成立
則等價(jià)于：關(guān)于m的方程mx-1=0和3m²-（x+1）m-1=0在（0，+∞）上有相同零點(diǎn)．
由mx-1=0得m=

1

x

，則x＞0，
將m=

1

x

代入方程3m²-（x+1）m-1=0得3（

1

x

）²-（x+1）•

1

x

-1=0，
即2x²+x-3=0，
解得x=1或x=-

3

2

（舍去），
故答案為：1．

點(diǎn)評：本題主要考查不等式恒成立，利用條件將條件轉(zhuǎn)化為方程mx-1=0和3m²-（x+1）m-1=0在（0，+∞）上有相同零點(diǎn)是解決本題的關(guān)鍵，綜合性較強(qiáng)，難度較大．