Question

7．有下列四個(gè)說(shuō)法：
①若函數(shù)f（x）=asinx+cosx（x∈R）的圖象關(guān)于直線x=$\frac{π}{6}$對(duì)稱，則a=$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
②已知向量$\overrightarrow{a}$=（1，2），$\overrightarrow$=（-2，m），若$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為鈍角，則m＜1；
③當(dāng)$\frac{5π}{2}$＜α＜$\frac{9π}{2}$時(shí)，函數(shù)f（x）=sinx-log_ax有三個(gè)零點(diǎn)；
④函數(shù)f（x）=xsinx在[-$\frac{π}{2}$，0]上單調(diào)遞減，在[0，$\frac{π}{2}$]上單調(diào)遞增．
其中正確的是①④（填上所有正確說(shuō)法的序號(hào)）

Answer 1

分析 對(duì)4個(gè)選項(xiàng)分別進(jìn)行判斷，即可得出結(jié)論．

解答 解：①函數(shù)f（x）=asinx+cosx=$\sqrt{1+{a}^{2}}$sin（x+θ），其中tanθ=$\frac{1}{a}$，∵其圖象關(guān)于直線x=$\frac{π}{6}$對(duì)稱，∴θ+$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，∴θ=kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z，∴tanθ=tan（kπ+$\frac{π}{3}$）=tan$\frac{π}{3}$=$\sqrt{3}$=$\frac{1}{a}$，∴a=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，正確；
②已知向量$\overrightarrow{a}$=（1，2），$\overrightarrow$=（-2，m），$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為鈍角，則$\left\{\begin{array}{l}{-2+2m＜0}\\{m+4≠0}\end{array}\right.$，∴m＜1且m≠-4，不正確；
③當(dāng)$\frac{5π}{2}$＜α＜$\frac{9π}{2}$時(shí)，a可以是負(fù)數(shù)，故函數(shù)f（x）=sinx-log_ax有三個(gè)零點(diǎn)不正確；
④f′（x）=sinx+cosx•x，f′（0）=0，當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{2}$]時(shí)，f′（x）≥0，f（x）單調(diào)遞增；當(dāng)x∈[-$\frac{π}{2}$，0]時(shí)，f′（x）≤0，f（x）單調(diào)遞減，故正確．
故答案為：①④．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是命題的真假判斷與應(yīng)用，綜合考查三角函數(shù)的圖象的對(duì)稱性，向量知識(shí)，考查利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，知識(shí)綜合性強(qiáng)．