【題目】在一張足夠大的紙板上截取一個面積為3600平方厘米的矩形紙板ABCD，然后在矩形紙板的四個角上切去邊長相等的小正方形，再把它的邊沿虛線折起，做成一個無蓋的長方體紙盒（如圖）．設(shè)小正方形邊長為x厘米，矩形紙板的兩邊AB，BC的長分別為a厘米和b厘米，其中a≥b．
（1）當(dāng)a=90時，求紙盒側(cè)面積的最大值；
（2）試確定a，b，x的值，使得紙盒的體積最大，并求出最大值．

【答案】
（1）解：因為矩形紙板ABCD的面積為3600，故當(dāng)a=90時，b=40，

從而包裝盒子的側(cè)面積S=2×x（90﹣2x）+2×x（40﹣2x）=﹣8x2+260x，x∈（0，20）

因為S=﹣8x2+260x=﹣8（x﹣16.25）2+2112.5，

故當(dāng)x=16.25時，側(cè)面積最大，最大值為2112.5平方厘米


（2）解：包裝盒子的體積V=（a﹣2x）（b﹣2x）x=x[ab﹣2（a+b）x+4x2]，x∈（0， ），b≤60．

V=x[ab﹣2（a+b）x+4x2]≤x（ab﹣4 x+4x2）=x（3600﹣240x+4x）

=4x3﹣240x2+3600x．

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=60時等號成立．

設(shè)f（x）=4x3﹣240x2+3600x，x∈（0，30）．則f′（x）=12（x﹣10）（x﹣30）．

于是當(dāng)0＜x＜10時，f′（x）＞0，所以f（x）在（0，10）上單調(diào)遞增；

當(dāng)10＜x＜30時，f′（x）＜0，所以f（x）在（10，30）上單調(diào)遞減．

因此當(dāng)x=10時，f（x）有最大值f（10）=16000，此時a=b=60，x=10．

答：當(dāng)a=b=60，x=10時紙盒的體積最大，最大值為16000立方厘米


【解析】（1）當(dāng)a=90時，b=40，求出側(cè)面積，利用配方法求紙盒側(cè)面積的最大值；（2）表示出體積，利用基本不等式，導(dǎo)數(shù)知識，即可確定a，b，x的值，使得紙盒的體積最大，并求出最大值．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】為了檢驗設(shè)備M與設(shè)備N的生產(chǎn)效率，研究人員作出統(tǒng)計，得到如下表所示的結(jié)果，則

設(shè)備M

設(shè)備N

生產(chǎn)出的合格產(chǎn)品

48

43

生產(chǎn)出的不合格產(chǎn)品

2

7

附：

P(K2≥k0)

0.15

0.10

0.050

0.025

0.010

k0

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

參考公式：，其中.

A. 有90%的把握認(rèn)為生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量與設(shè)備的選擇有關(guān)

B. 沒有90%的把握認(rèn)為生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量與設(shè)備的選擇有關(guān)

C. 可以在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量與設(shè)備的選擇有關(guān)

D. 不能在犯錯誤的概率不超過0.1的前提下認(rèn)為生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量與設(shè)備的選擇有關(guān)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)面AA1C1C是菱形，AC1與A1C交于點O，點E是AB的中點.

(1)求證：OE∥平面BCC1B1.

(2)若AC1⊥A1B，求證：AC1⊥BC.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】現(xiàn)有 （n≥2，n∈N*）個給定的不同的數(shù)隨機(jī)排成一個下圖所示的三角形數(shù)陣：
設(shè)Mk是第k行中的最大數(shù)，其中1≤k≤n，k∈N*．記M1＜M2＜…＜Mn的概率為pn ．
（1）求p2的值；
（2）證明：pn＞ ．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】若數(shù)列對任意滿足，下面給出關(guān)于數(shù)列的四個命題：①可以是等差數(shù)列，②可以是等比數(shù)列；③可以既是等差又是等比數(shù)列；④可以既不是等差又不是等比數(shù)列；則上述命題中，正確的個數(shù)為（ ）

A. 1個B. 2個C. 3個D. 4個

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f （x）=ex﹣ax﹣1，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，a∈R．
（1）若a=e，函數(shù)g （x）=（2﹣e）x． ①求函數(shù)h（x）=f （x）﹣g （x）的單調(diào)區(qū)間；
②若函數(shù)F（x）= 的值域為R，求實數(shù)m的取值范圍；
（2）若存在實數(shù)x1 ， x2∈[0，2]，使得f（x1）=f（x2），且|x1﹣x2|≥1，求證：e﹣1≤a≤e2﹣e．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】給定數(shù)列{cn}，如果存在常數(shù)p、q使得cn+1＝pcn+q對任意n∈N*都成立，則稱{cn}為“M類數(shù)列”．

（1）若{an}是公差為d的等差數(shù)列，判斷{an}是否為“M類數(shù)列”，并說明理由；

（2）若{an}是“M類數(shù)列”且滿足：a1＝2，an+an+1＝32n．

①求a2、a3的值及{an}的通項公式；

②設(shè)數(shù)列{bn}滿足：對任意的正整數(shù)n，都有a1bn+a2bn﹣1+a3bn﹣2+…+anb1＝32n+1﹣4n﹣6，且集合M＝{n|≥λ，n∈N*}中有且僅有3個元素，試求實數(shù)λ的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】把圓分成個扇形，設(shè)用4種顏色給這些扇形染色，每個扇形恰染一種顏色，并且要求相鄰扇形的顏色互不相同，設(shè)共有種方法.

(1)寫出，的值；

(2)猜想 ，并用數(shù)學(xué)歸納法證明。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某手機(jī)廠商推出一款6吋大屏手機(jī)，現(xiàn)對500名該手機(jī)用戶（200名女性，300名男性）進(jìn)行調(diào)查，對手機(jī)進(jìn)行評分，評分的頻數(shù)分布表如下：

女性用戶

分值區(qū)間

[50，60）

[60，70）

[70，80）

[80，90）

[90，100]

頻數(shù)

20

40

80

50

10

男性用戶

分值區(qū)間

[50，60）

[60，70）

[70，80）

[80，90）

[90，100]

頻數(shù)

45

75

90

60

30

（Ⅰ）完成下列頻率分布直方圖，并指出女性用戶和男性用戶哪組評分更穩(wěn)定（不計算具體值，給出結(jié)論即可）；

（Ⅱ）根據(jù)評分的不同，運用分層抽樣從男性用戶中抽取20名用戶，在這20名用戶中，從評分不低于80分的用戶中任意抽取3名用戶，求3名用戶中評分小于90分的人數(shù)的分布列和期望．

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