Question

13．如圖，已知橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{1}{2}$，點A（0，$\sqrt{3}$）和點P都在橢圓C₁上，橢圓C₂方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=4．
（1）求橢圓C₁的方程；
（2）過P作橢圓C₁的切線l交橢圓C₂于M，N兩點，過P作射線PO交橢圓C₂于Q點，設$\overrightarrow{OQ}$=λ$\overrightarrow{OP}$；
（i）求λ的值；
（ii）求證：△QMN的面積為定值，并求出這個定值．

Answer 1

分析 （1）由橢圓離心率和點P在橢圓上，求出a，b，由此能求出橢圓C₁的方程．
（2）（i）設P（m，n），則由$\overrightarrow{OQ}$=λ$\overrightarrow{OP}$得：Q（λm，λn），由P在橢圓C₁上，能求出λ的值．
設切線l的方程為：y=kx+t，與橢圓聯(lián)立，得：（4k²+3）x²+8ktx+4t²-12=0，由此利用根的判別式、韋達定理，弦長公式、點到直線距離公式，能證明△QMN的面積為定值，這個定值為18．

解答 解：（1）∵橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{1}{2}$，點A（0，$\sqrt{3}$）和點P都在橢圓C₁上，
∴e=$\frac{1}{2}$，∴a²=4c²=4a²-4b²，∴3a²=4b²，又由題意知：b=$\sqrt{3}$，∴a²=4，
∴橢圓C₁的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．…（4分）
（2）（i）設P（m，n），則由$\overrightarrow{OQ}$=λ$\overrightarrow{OP}$得：Q（λm，λn），
∵Q在橢圓C₂上，∴$\frac{{λ}^{2}{m}^{2}}{4}+\frac{{λ}^{2}{n}^{2}}{3}$=4
λ²（$\frac{{m}^{2}}{4}$+$\frac{{n}^{2}}{3}$）=4，∵P在橢圓C₁上，∴$\frac{{m}^{2}}{4}+\frac{{n}^{2}}{3}$=1，∴λ²=4，又∵λ＜0，∴λ=-2，…（7分）
證明：（ii）設切線l的方程為：y=kx+t
聯(lián)立方程組：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\\{y=kx+t}\end{array}\right.$，聯(lián)立并消元整理得：（4k²+3）x²+8ktx+4t²-12=0，
△=48（4k²+3-t²）=0，∴4k²+3=t²，…②
聯(lián)立方程組：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1}\\{y=kx+t}\end{array}\right.$，消元整理得：（16k²+12）x²+32ktx+16t²-16×12=0，…①
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x₁，x₂是方程①的兩個解，由韋達定理得：
x₁+x₂=$\frac{-32kt}{16{k}^{2}+12}$，x₁x₂=$\frac{16{t}^{2}-16×2}{16{k}^{2}+12}$，
|MN|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}•\frac{16\sqrt{3}•\sqrt{16{k}^{2}+12-{t}^{2}}}{16{k}^{2}+12}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{16\sqrt{3}•\sqrt{12{k}^{2}+9}}{16{k}^{2}+12}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{12}{\sqrt{4{k}^{2}+3}}$，
設O到直線MN的距離為d₁，Q到直線MN的距離為d₂，則由（i）知：d₂=3d₁
d₂=3d₁=$\frac{3t}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，由②知：t=$\sqrt{4{k}^{2}+3}$，∴d₂=$\frac{3\sqrt{4{k}^{2}+3}}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
∴S△_QMN=$\frac{1}{2}$•|MN|•d₂=$\frac{1}{2}$•$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{12}{\sqrt{4{k}^{2}+3}}$•$\frac{3\sqrt{4{k}^{2}+3}}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=18
即△QMN的面積為定值，這個定值為18．…（12分）

點評 本題考查橢圓方程的求法，考查實數(shù)值的求法，考查三角形面積為定值的證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意根的判別式、韋達定理，弦長公式、點到直線距離公式的合理運用．