已知函數(shù)f(x)=-數(shù)學公式x3+x2+(m2-1)x,其中m>0.
(1)若m=2,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)方程f(x)=0有三個不同的根0,x1,x2,若對任意的x∈[x1,x2],有f(x)>f(1)恒成立,求m的取值范圍.

解:(1)∵f′(x)=-x2+2x+3=-(x-3)(x+1),…2
令f′(x)=0,解得x=3或x=-1.
f(x)在(-∞,-1)和(3,+∞)內(nèi)為減函數(shù),在(-1,3)內(nèi)為增函數(shù)…5
(2)∵方程f(x)=x(-x2+x+m2-1)=-x(x-x1)(x-x2),
∴方程-x2+x+m2-1=0有兩個不同的根x1,x2,
∴x1+x2=3,且△=1+(m2-1)>0,解得m<-(舍去),m>…7
∵x1<x2,
∴x1+x2<2x2,
∴x2>1.
若x1≤1<x2,即f(1)=-(1-x1)(1-x2)≥0,而f(1)=0,不合題意…8
若1<x1<x2,則對任意的x∈[x1,x2]有x-x1≥0,x-x2≤0,
則f(x)=-x(x-x1)(x-x2)≥0,又f(x1)=0,
∴函數(shù)f(x)在x∈[x1,x2]的最小值為0,
于是對任意的x∈[x1,x2],有f(x)>f(1)恒成立的充要條件是f(1)=m2-<0,解得-<m<,
綜上,m的取值范圍是()…12
分析:(1)求得f′(x),令f′(x)=0,進一步可求得函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)依題意可得f(x)=-x(x-x1)(x-x2),從而方程-x2+x+m2-1=0有兩個不同的根x1,x2,利用韋達定理可得x2>1,m>;當1<x1<x2,可求得函數(shù)f(x)在x∈[x1,x2]的最小值為0,從而可得f(1)=m2-<0,于是可求得m的取值范圍.
點評:本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值,考查轉(zhuǎn)化與分類討論思想,考查綜合分析與解決問題的能力,屬于難題.
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=sinxcosφ+cosxsinφ(其中x∈R,0<φ<π).
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期;
(2)若函數(shù)y=f(2x+
π
4
)
的圖象關(guān)于直線x=
π
6
對稱,求φ的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)為定義在R上的奇函數(shù),且當x>0時,f(x)=(sinx+cosx)2+2cos2x,
(1)求x<0,時f(x)的表達式;
(2)若關(guān)于x的方程f(x)-a=o有解,求實數(shù)a的范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=aInx-ax,(a∈R)
(1)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;(文科可參考公式:(Inx)=
1
x

(2)若f′(2)=1,記函數(shù)g(x)=x3+x2[f(x)+
m
2
]
,若g(x)在區(qū)間(1,3)上總不單調(diào),求實數(shù)m的范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x2-bx的圖象在點A(1,f(1))處的切線l與直線3x-y+2=0平行,若數(shù)列{
1
f(n)
}
的前n項和為Sn,則S2010的值為( 。
A、
2011
2012
B、
2010
2011
C、
2009
2010
D、
2008
2009

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間(-1,1)上的奇函數(shù),且對于x∈(-1,1)恒有f’(x)<0成立,若f(-2a2+2)+f(a2+2a+1)<0,則實數(shù)a的取值范圍是
 

查看答案和解析>>

同步練習冊答案