Question

如圖，已知平面α⊥平面β，α∩β=AB，C∈β，D∈β，DA⊥AB，CB⊥AB，BC=8，AB=6，AD=4，平面α有一動(dòng)點(diǎn)P使得∠APD=∠BPC，則△PAB的面積最大值是（　�。�

• A、24
• B、32
• C、12
• D、48

Answer 1

考點(diǎn)：平面與平面垂直的性質(zhì)

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：由平面α⊥平面β，α∩β=AB，C∈β，D∈β，DA⊥AB，CB⊥AB，得到△PAD與△PBC是直角三角形，過(guò)P點(diǎn)作出AB的垂線PM后，設(shè)出AM的長(zhǎng)度t，把PM用含有t的代數(shù)式表示，求出最大值，代入三角形的面積公式得答案．

解答： 解：由已知平面α⊥平面β，AB是平面α與平面β的交線，
∵C∈β，D∈β，
∴DA?β，CB?β，
又DA⊥AB，CB⊥AB，
∴DA⊥α，CB⊥α，
∴△PAD與△PBC是直角三角形，又∠APD=∠BPC，
∴△PAD∽△PBC，又AD=4，BC=8，∴PB=2PA．
作PM⊥AB，垂足為M，令A(yù)M=t∈R，
在兩個(gè)Rt△PAM與Rt△PBM中，PM是公共邊及PB=2PA，
∴PA²-t²=4PA²-（6-t）² ，解得PA²=12-4t．
∴PM=

12-4t-t2

，
則（PM）_max=4．
∴△PAB的面積最大值S△PAB=

1

2

×6×PM=

1

2

×6×4=12．
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平面與平面垂直的性質(zhì)，考查了學(xué)生的空間想象能力和思維能力，訓(xùn)練了利用構(gòu)造方程解題的思想方法，是中檔題．