Question

1．已知函數(shù)$f（x）=Asin（{ωx+φ}）（{A＞0，ω＞0，|φ|＜\frac{π}{2}}）$的部分圖象如圖所示．
（1）求函數(shù)y=f（x）的解析式；
（2）將函數(shù)y=$\sqrt{3}$sin2x-cos2x的圖象做怎樣的平移變換可以得到函數(shù)f（x）的圖象；
（3）若方程$f（x）=m在[{-\frac{π}{2}，0}]$上有兩個不相等的實數(shù)根，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)圖象得到振幅和A=2，ω=2，從而得到f（x）=2sin（2x+φ），然后，將點（$\frac{π}{12}$，2）代入得到φ=$\frac{π}{3}$．
（2）由條件利用兩角差的正弦公式，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，可得結(jié)論．
（3）通過正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合可得，要有兩個不相等的實根，即可求出m的取值范圍得到表達式．

解答 解：（1）根據(jù)圖象得到：A=2，由$\frac{T}{4}$=$\frac{π}{3}$-$\frac{π}{12}$=$\frac{π}{4}$，可得T=π，
∴由$\frac{2π}{ω}$=π，可得ω=2，
∴f（x）=2sin（2x+φ），
將點（$\frac{π}{12}$，2）代入得到2sin（$\frac{π}{6}$+φ）=2，|φ|＜$\frac{π}{2}$，
∴φ=$\frac{π}{3}$，
∴f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）．
（2）∵y=$\sqrt{3}$sin2x-cos2x=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）=2sin[2（x-$\frac{π}{12}$）]，
f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）=2sin[2（x+$\frac{π}{6}$）]=2sin[2（x-$\frac{π}{12}$+$\frac{π}{4}$）]，
∴將函數(shù)y=$\sqrt{3}$sin2x-cos2x的圖象沿x軸向左平移$\frac{π}{4}$可以得到函數(shù)f（x）的圖象．
（3）∵f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）．
∵x∈[-$\frac{π}{2}$，0]，可得：2x+$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{2π}{3}$，$\frac{π}{3}$]，
方程f（x）=m在區(qū)間∈[-$\frac{π}{2}$，0]內(nèi)有兩個不相等的實數(shù)根x₁，x₂，
如圖：結(jié)合正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，

∴要有兩個不相等的實根，m∈（-2，-$\sqrt{3}$]．

點評 本題重點考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)及其運用，本題考查函數(shù)與方程的綜合運用，由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，考查了數(shù)形結(jié)合思想和計算能力，屬于中檔題．