Question

如圖，ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，∠BAD=60，
（1）求點A到平面PBD的距離的值；
（2）求二面角A-PB-D的余弦值．

Answer 1

分析：（1）點A到面PBD的距離可以轉化成向量DA在面PBD的法向量量上的投影的長度來求解；
（2）二面角A-PB-D的余弦值可以轉化成求平面PAB與平面PBD的法向量夾角的余弦值問題來解決，求出兩個平面的法向量，用數量積公式求兩個向量夾角的余弦值，此余弦值與二面角的余弦值的關系是絕對值相等，從圖可以看出所求二面角的余弦值為正，故可求．

解答：解：由題意，連接AC，BD交于點O，由于四邊形ABCD是菱形可得AC，BD互相垂直，以OA、OB所在直線分別x軸，y軸，以過O且垂直平面ABCD的直線為z軸，建立空間直角坐標系，則A(

3

，0，0)，B(0，1，0)，C(-

3

，0，0)，D(0，-1，0)，P(

3

，0，2)，

DB

=(0，2，0)， 

AP

=(0，0，2)（2分）
（Ⅰ）設平面PDB的法向量為

n1

=(x1 ，y1，z1)，

DP

=(

3

，1，2)， 

DB

=(0，2，0)
由

n1 • DP =0 n1 • DB =0

，得

3 x1 +y1+2z1=0 2y1=0

，令z1=1， 得

n1

=(-

2 3

3

，0，1)，

DA

=(

3

，1，0)
所以點A到平面PDB的距離d=

| n1 • DA |

| n1 |

=

2 21

7

（5分）
（Ⅱ）設平面ABP的法向量

n2

=(x2，y2，z2)，

AP

=(0，0，2). 

AB

=(-

3

，1，0)，
由

AP • n2 =0 AB • n2 =0

，得

2x2=0 - 3 x2 +y2

=0，令y2=1，得

x2= 3 3 y2=1 z2=0

，∴

n2

=(

3

3

，1，0)，
∴cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 | •| n2 |

=-

7

7

，而所求的二面角與＜

n1

，

n2

＞互補，
所以二面角A-PB-D的余弦值為

7

7

點評：本題考點是點、線、面間的距離計算，本題把求點到面距離的問題轉化成了求投影長度的問題，把求二面角的問題轉化成了求向量夾角的問題，體現了化歸的思想，在立體幾何中求距離與求夾角的問題常借助空間向量的知識來解決．用空間向量法求二面角的余弦值時，一定要注意法向量的方向，如此才能保證正確求出二面角的余弦值，若兩法向量的方向都指向二面角的內部則法向量的余弦值就是二面角的余弦值，若全指向二面角的外部，此時二者亦相等，若一指向外部一指向內部，則二者互為相反數，求解時要注意判斷二者的關系．